Questão 1) Relação entre EE e FT.
Obter a função de transferência (FT) do sistema definido pela seguinte representação no espaço de estados (EE). OBS: utilizar a relação entre EE e FT vista em aula.
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{l} \dot{x_{1}}(t) \\\ \dot{x_{2}}(t) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\\\ 0 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1}(t) \\\ x_{2}(t) \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \end{array}\right] u(t)} \\\ & y(t)=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1}(t) \\\ x_{2}(t) \end{array}\right] \end{aligned}
Lembrando que: G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=C(s I-A)^{-1} B+D, sendo D=0 neste caso.

Passo 1

O enunciado pede para obter a função de transferência G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)} do sistema dado pela representação no espaço de estados. As informações fornecidas são:
\dot{x}(t)=A\,x(t)+B\,u(t),\qquad y(t)=C\,x(t)+D\,u(t),
com
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}, \qquad D=0.
Também foi lembrada a relação a usar:
G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B+D,
e aqui D=0. A partir disso, devemos calcular G(s).]

Passo 2

Vamos entender o que aparece na fórmula \;G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B+D\; e o plano de ataque (sem ainda calcular):
  • s é a variável complexa do domínio de Laplace (frequência complexa). Em provas você trata s como um símbolo.
  • I é a matriz identidade de mesma ordem que A. Aqui I é 2\times2.
  • (sI-A) é uma matriz 2\times2; para obter G(s) precisamos calcular o inverso desta matriz, (sI-A)^{-1}.
  • Depois fazemos a multiplicação matricial C\,(sI-A)^{-1}B. Como C é 1\times2, (sI-A)^{-1} é 2\times2 e B é 2\times1, o resultado será escalar (1×1), que é G(s).
Na prática, o passo técnico é: formar (sI-A), inverter essa matriz 2\times2 usando a fórmula do inverso para 2\times2, multiplicar por B e em seguida por C.

Passo 3

Calcular (sI-A). Primeiro escrevo sI (identidade multiplicada por s):
sI=\begin{pmatrix}s & 0\\[4pt]0 & s\end{pmatrix}.
Então
sI-A=\begin{pmatrix}s & 0\\[4pt]0 & s\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}s-2 & -1\\[4pt]0 & s+2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular o inverso de (sI-A). Para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}, \qquad M^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix},
desde que o determinante ad-bc\neq0. Aqui identificamos
a=s-2,\quad b=-1,\quad c=0,\quad d=s+2.
O determinante é
\det(sI-A)=a d - b c=(s-2)(s+2)-(-1)\cdot 0=s^2-4.
Aplicando a fórmula do inverso:
(sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{s^2-4}\begin{pmatrix}s+2 & 1\\[4pt]0 & s-2\end{pmatrix}.
(Observe que trocamos a e d, colocamos sinais em b e c, conforme a fórmula.)]

Passo 5

Calcular (sI-A)^{-1}B. Multiplicamos a matriz inversa pelo vetor B:
B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},
então
(sI-A)^{-1}B=\dfrac{1}{s^2-4}\begin{pmatrix}s+2 & 1\\[4pt]0 & s-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} =\dfrac{1}{s^2-4}\begin{pmatrix}1\\[4pt]s-2\end{pmatrix}.
Detalhe das multiplicações de linha por coluna:
  • primeira componente: (s+2)\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1,
  • segunda componente: 0\cdot 0 + (s-2)\cdot 1 = s-2.]

Passo 6

Calcular G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B+D. Como D=0 e C=(1\;0),
G(s)=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}\left(\dfrac{1}{s^2-4}\begin{pmatrix}1\\[4pt]s-2\end{pmatrix}\right)+0 =\dfrac{1}{s^2-4}\cdot\big(1\cdot 1 + 0\cdot (s-2)\big) =\dfrac{1}{s^2-4}.]

Passo 7

Conclusão e interpretação curta (útil na prova): podemos reescrever
G(s)=\dfrac{1}{s^2-4}=\dfrac{1}{(s-2)(s+2)}.
Isso mostra que os polos do sistema (valores de s que anulam o denominador) são s=2 e s=-2. Mas a resposta pedida é a expressão de G(s) acima.

Resposta

G(s)=\dfrac{1}{s^{2}-4}

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