Definição: A reta normal ao gráfico de uma função f em um determinado ponto, é a reta perpendicular a reta tangente nesse ponto. No caso em que a reta tangente não é vertical e nem horizontal, temos que a inclinação da reta normal (coeficiente angular) é dada por mN=-1mT onde mT é a inclinação da reta tangente. Caso a reta tangente seja vertical, temos que mN=0. Por outro lado, se a reta tangente for horizontal, então mN não esta definido e a reta normal é vertical. Desta forma a equação da reta normal em um ponto (p, f(p)) é y-f(p)=-1mT(x-p). Com estas informações determine a equação da reta normal à curva dada.
y=6x no ponto (3,2).

Passo 1

O enunciado pede a reta normal ao gráfico de f(x)=tfrac6x no ponto (3,2). Para isso precisamos da inclinação da reta tangente, que vem da derivada f'(x), e então usar que a inclinação da reta normal é
mN=-1mT

Passo 2

Calculamos a derivada de f(x)=tfrac6x. Usando a regra do quociente (ou 6x^-1), temos
f'(x) = -6x^-2 = -6x^2

Passo 3

Avaliaremos f' em x=3 para obter a inclinação da reta tangente naquele ponto:
mT = f'(3) = -63^2 = -69 = -23

Passo 4

Como a reta normal é perpendicular à tangente, sua inclinação é
mN = -1mT = -1-tfrac23 = 32

Passo 5

Agora montamos a equação da reta normal passando por (3,2) com coeficiente angular mN=tfrac32:
y - 2 = 32(x - 3)

Resposta

y - 2 = 32(x - 3) Long<=ftrightarrow y = 32x - 52

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