Calcule as seguintes integrais definidas.
integral0^1(1+x raizx) d x

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular uma integral definida: integral0^1(1 + x raizx) , dx. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, onde aprendemos a encontrar a área sob uma curva entre dois pontos. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções polinomiais e usar algumas propriedades básicas da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos 1 + x raizx. Sabemos que raizx é igual a x^1/2. Então, podemos reescrever a expressão como:
1 + x cdot x^1/2 = 1 + x^3/2

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral0^1 (1 + x^3/2) , dx
Vamos separar a integral em duas partes, já que a soma dentro da integral pode ser dividida:
integral0^1 1 , dx + integral0^1 x^3/2 , dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral: integral0^1 1 , dx. A integral de uma constante 1 em relação a x é simplesmente x. Então:
integral0^1 1 , dx = x |0^1 = 1 - 0 = 1

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral: integral0^1 x^3/2 , dx. Para integrar x^n, usamos a regra de integração:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Onde C é a constante de integração. No nosso caso, n = 32, então:
integral x^3/2 , dx = x^5/252 = 25 x^5/2

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
25 x^5/2 |0^1 = 25 (1)^5/2 - 25 (0)^5/2 = 25 - 0 = 25

Resposta

Somando as duas partes que integramos:
1 + 25 = 75
Então, o valor da integral definida é 75.

Exercícios relacionados