Encontre o centro de massa, o momento de inércia e o raio de rotação em relação ao eixo y de uma placa fina retangular cortada do primiero quadrante pelas retas x=6; y=1; rho(x, y)=x+y+1.

Passo 1

O enunciado define uma placa fina retangular no primeiro quadrante limitada por
0 <= x <= 6, 0 <= y <= 1
com densidade superficial rho(x,y)=x+y+1.
Vamos calcular:
  1. A massa total
  2. O centro de massa (bar x,bar y)
  3. O momento de inércia Iy em relação ao eixo y
  4. O raio de rotação ky=raizIy/M.

Passo 2

Calcular a massa total
M = integral duplaRrho(x,y),dA =integralx=0^6!integraly=0^1(x+y+1),dy,dx
Integramos em y:
integral0^1(x+y+1),dy = xcdot1 + tfrac12 + 1 = x + tfrac32
Agora em x:
M = integral0^6l(x + tfrac32r)dx =[tfracx^22 + tfrac3x2]0^6 = l(18 + 9r) =27

Passo 3

Calcular as coordenadas do centro de massa
bar x = 1Mintegral dupla x,rho,dA,
bar y = 1Mintegral dupla y,rho,dA.
  1. Momento em relação ao eixo y:
integral dupla x,rho,dA =integral0^6!integral0^1x(x+y+1),dy,dx =integral0^6xl(x+tfrac32r),dx =integral0^6l(x^2+tfrac3x2r)dx =99
Então
bar x = 9927 = 113
  1. Momento em relação ao eixo x:
integral dupla y,rho,dA =integral0^6!integral0^1y(x+y+1),dy,dx =integral0^6l(tfracx2+tfrac56r)dx =14
Logo
bar y = 1427

Passo 4

Calcular o momento de inércia em relação ao eixo y:
Iy = integral dupla x^2,rho(x,y),dA =integral0^6!integral0^1x^2(x+y+1),dy,dx =integral0^6x^2l(x+tfrac32r),dx =integral0^6l(x^3+tfrac3x^22r)dx =432

Passo 5

Calcular o raio de rotação em torno do eixo y:
ky = raizIyM = raiz43227 = raiz16 =4

Resposta

M = 27,
(bar x,bar y)=l(tfrac113,,tfrac1427r),
Iy=432,
ky=4.

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