A definição a seguir é sobre o Teorema de Green: R "Seja uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva suave por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f(x,y) e g(x,y) forem contínuas e tiverem derivadas parciais primeiras contínuas em algum conjunto contendo R então: [ f(x,y)dx + g(x,y)dy = +90x. Em relação a esse teorema, assinale a alternativa INCORRETA
O a. Uma curva é fechada quando o ponto inicial não coincide com o ponto final e uma curva é simples quando tem autointerseção.
b. Em matemática aplicada, as generalizações do Teorema de Green para três dimensões fornecem a base para teoremas sobre eletricidade, magnetismo e escoamento de fluidos.
c. O Teorema de Green é um dos grandes teoremas do Cálculo Vetorial.
d. Em matemática pura, o Teorema de Green tem importância semelhante ao Teorema Fundamental de Cálculo.
e. Uma curva é fechada quando o ponto inicial coincide com o ponto final e uma curva é simples quando não tem autointerseção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o Teorema de Green, que é um dos grandes teoremas do Cálculo Vetorial. A gente precisa analisar cada alternativa para identificar qual está INCORRETA. Para isso, vamos precisar lembrar o que são curvas fechadas e simples, além de entender a aplicação do Teorema de Green tanto em matemática pura quanto aplicada.

Passo 2

Vamos começar entendendo algumas definições que aparecem nas alternativas:
  • Curva Fechada: Uma curva é fechada quando o ponto inicial coincide com o ponto final.
  • Curva Simples: Uma curva é simples quando não tem autointerseção, ou seja, não cruza a si mesma.
Essas definições são fundamentais para avaliar as alternativas.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada alternativa uma por uma para ver qual delas está errada.
Alternativa a.
Uma curva é fechada quando o ponto inicial não coincide com o ponto final e uma curva é simples quando tem autointerseção.
Aqui temos um problema. A definição de curva fechada está invertida. Uma curva é fechada quando o ponto inicial coincide com o final, não o contrário. Além disso, uma curva simples não tem autointerseção, então dizer que uma curva simples tem autointerseção está errado.
Alternativa b.
Em matemática aplicada, as generalizações do Teorema de Green para três dimensões fornecem a base para teoremas sobre eletricidade, magnetismo e escoamento de fluidos.
Essa afirmação está correta. O Teorema de Green é uma versão bidimensional de teoremas mais gerais no cálculo vetorial, como o Teorema de Stokes e o Teorema da Divergência, que são fundamentais em física para descrever campos elétricos, magnéticos e fluxos de fluidos.
Alternativa c.
O Teorema de Green é um dos grandes teoremas do Cálculo Vetorial.
Correto! O Teorema de Green realmente é um dos pilares do Cálculo Vetorial, conectando integrais de linha com integrais duplas.
Alternativa d.
Em matemática pura, o Teorema de Green tem importância semelhante ao Teorema Fundamental de Cálculo.
Isso também está certo. Assim como o Teorema Fundamental de Cálculo relaciona derivadas e integrais em uma dimensão, o Teorema de Green faz essa conexão em duas dimensões, sendo essencial na análise matemática.
Alternativa e.
Uma curva é fechada quando o ponto inicial coincide com o ponto final e uma curva é simples quando não tem autointerseção.
Perfeito! Essa alternativa apresenta as definições corretas de curva fechada e curva simples.

Resposta

A alternativa a está INCORRETA.

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