Seja f(x) uma função definida por: f ( x ) = { k 2 − k se x ≤ 3 4 se x < 3 Os valores da constante k para que a função seja contínua em x = 3 é igual a:
k = 4/3 ou k = -1
k = 0 ou k = 1
k = -3 ou k = 1
k = 4 ou k = -3
k = 2 ou k = -6
k = 4/3 ou k = -1
k = 0 ou k = 1
k = -3 ou k = 1
k = 4 ou k = -3
k = 2 ou k = -6
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: Temos uma função $ f(x) $ que muda de expressão dependendo do valor de $ x $. Queremos descobrir quais valores da constante $ k $ fazem essa função ser contínua em $ x = 3 $. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções e como aplicar limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em $ x = a $ se o limite da função quando $ x $ se aproxima de $ a $ pela esquerda ($ x \to a^-
x \to a^+ $) são iguais e também iguais ao valor da função em $ a $. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde $ a = 3 $. A função $ f(x) $ está definida da seguinte forma:
Então, o valor da função em $ x = 3 $ é $ f(3) = k^2 - k $.
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites pela esquerda e pela direita de $ x = 3 $.
-
Limite pela esquerda ($ x \to 3^- $):Como $ x \leq 3 $, usamos a primeira parte da função:
-
Limite pela direita ($ x \to 3^+ $):Como $ x > 3 $, usamos a segunda parte da função:
Passo 5
Para que a função seja contínua em $ x = 3 $, os dois limites devem ser iguais e também iguais ao valor da função em $ x = 3 $. Portanto, temos a equação:
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática $ k^2 - k - 4 = 0 $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = -4 $.
Passo 7
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Passo 8
Aplicando na fórmula de Bhaskara:
Portanto, os valores de $ k $ são:
Resposta
Os valores de $ k $ que tornam a função contínua em $ x = 3 $ são: