(Definição via limite) Calcule a derivada das seguintes funções pela definição:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
pela definição
A função dada é
Informações importantes que temos do enunciado:
- A expressão que preciso avaliar é
e depois tomar o limite quando . - O domínio natural de
é (porque aparecem e ). A derivada só faz sentido onde está definida, então . - Vou usar apenas a definição (como foi pedido), sem aplicar diretamente regras prontas de derivação.
Passo 2
Calcular
substituindo
por
:
Escrever a diferença
:
Passo 3
Simplificar cada parcela da soma separadamente.
Primeira parcela:
Segunda parcela:
Expandindo o numerador:
portanto
Assim,
Passo 4
Formar o quociente diferencial e fatorar
(lembrando que, na definição, dividimos por
e consideramos
antes de passar ao limite):
Fatorando
:
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. A expressão obtida é uma soma de funções racionais em
que são contínuas em
desde que
, então podemos avaliar o limite substituindo
depois de, se for útil, juntar em um único quociente. Faço a combinação com denominador comum
para ficar claro:
Reescrevendo a primeira parcela com o mesmo denominador:
Somando com a segunda parcela:
Simplificando o numerador:
Tomando
no numerador e denominador:
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por
, válido para
):
Passo 6
Interpretação final e observação: a derivada encontrada é válida para
. Como checagem rápida (opcional), escrevendo
e derivando pelas regras de potência obtém-se
, que é algebraicamente igual a
, confirmando o resultado.