(Definição via limite) Calcule a derivada das seguintes funções pela definição: f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f pela definição
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
A função dada é
f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}.
Informações importantes que temos do enunciado:
  • A expressão que preciso avaliar é \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} e depois tomar o limite quando h\to0.
  • O domínio natural de f é x\neq 0 (porque aparecem \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{x^{2}}). A derivada só faz sentido onde f está definida, então x\neq 0.
  • Vou usar apenas a definição (como foi pedido), sem aplicar diretamente regras prontas de derivação.

Passo 2

Calcular f(x+h) substituindo x por x+h:
f(x+h)=\frac{1}{x+h}-\frac{1}{(x+h)^{2}}.
Escrever a diferença f(x+h)-f(x):
f(x+h)-f(x)=\left(\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}\right)+\left(-\frac{1}{(x+h)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}\right).

Passo 3

Simplificar cada parcela da soma separadamente.
Primeira parcela:
\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}=\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}=\frac{-h}{x(x+h)}.
Segunda parcela:
-\frac{1}{(x+h)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x+h)^{2}} =\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}.
Expandindo o numerador:
(x+h)^{2}-x^{2}=2xh+h^{2}=h(2x+h),
portanto
-\frac{1}{(x+h)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{h(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}.
Assim,
f(x+h)-f(x)=\frac{-h}{x(x+h)}+\frac{h(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}.

Passo 4

Formar o quociente diferencial e fatorar h (lembrando que, na definição, dividimos por h e consideramos h\neq0 antes de passar ao limite):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{1}{h}\left(\frac{-h}{x(x+h)}+\frac{h(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}\right).
Fatorando h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =-\frac{1}{x(x+h)}+\frac{2x+h}{x^{2}(x+h)^{2}}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando h\to0. A expressão obtida é uma soma de funções racionais em h que são contínuas em h=0 desde que x\neq0, então podemos avaliar o limite substituindo h=0 depois de, se for útil, juntar em um único quociente. Faço a combinação com denominador comum x^{2}(x+h)^{2} para ficar claro:
Reescrevendo a primeira parcela com o mesmo denominador:
-\frac{1}{x(x+h)}=-\frac{x(x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}.
Somando com a segunda parcela:
-\frac{x(x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}+\frac{2x+h}{x^{2}(x+h)^{2}} =\frac{-x(x+h)+(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}.
Simplificando o numerador:
-x(x+h)+(2x+h)=-x^{2}-xh+2x+h.
Tomando h\to0 no numerador e denominador:
\lim_{h\to0}\frac{-x^{2}-xh+2x+h}{x^{2}(x+h)^{2}} =\frac{-x^{2}+2x}{x^{2}\cdot x^{2}} =\frac{-x^{2}+2x}{x^{4}}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por x, válido para x\neq0):
\frac{-x^{2}+2x}{x^{4}}=\frac{-x+2}{x^{3}}.

Passo 6

Interpretação final e observação: a derivada encontrada é válida para x\neq0. Como checagem rápida (opcional), escrevendo f(x)=x^{-1}-x^{-2} e derivando pelas regras de potência obtém-se f'(x)=-x^{-2}+2x^{-3}, que é algebraicamente igual a \dfrac{-x+2}{x^{3}}, confirmando o resultado.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{-x+2}{x^{3}},\quad x\neq 0

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