Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar a solução geral da equação diferencial
- Usar essa solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando
.
Informações dadas no enunciado:
- A equação é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo
com e .
Passo 2
Método a usar (explicação didática do que é feito): integrating factor (fator integrante) para equações lineares de primeira ordem.
Por que isso funciona?
Considere a equação linear de primeira ordem na forma
Considere a equação linear de primeira ordem na forma
Define-se o fator integrante
Multiplicando a equação por
obtém-se
A escolha de
faz com que o lado esquerdo seja a derivada do produto
, isto é,
Assim basta integrar ambos os lados para achar
e então dividir por
para obter
.
Explicação das letras:
é a função que multiplica
na equação original;
é o termo independente;
é uma função auxiliar escolhida para transformar o lado esquerdo em derivada de produto.
Passo 3
Aplicando o método à equação dada:
Identificamos . Então o fator integrante é
Identificamos
Multiplicando a equação original por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 4
Simplificando o lado direito:
pois
e
.
Então temos a igualdade
Integramos ambos os lados em relação a
:
Calcule as primitivas:
Portanto, incluindo a constante de integração
,
Passo 5
Isolando
dividindo por
:
Distribuindo
e simplificando:
Podemos escrever a solução geral de forma limpa como
onde
é uma constante arbitrária determinada pela condição inicial, se houver.
Passo 6
Análise do comportamento quando
.
Observações sobre limites:
-
. - Para o termo
vale . Justificação rápida por L’Hôpital: considere . Aplicando L’Hôpital duas vezes obtém-se ; assim e portanto . - O termo
também tende a para qualquer constante finita , porque .
Logo, tomando limite em
,
Interpretação intuitiva: independente do valor da constante
, todos os termos multiplicados por
desaparecem quando
cresce muito, então todas as soluções convergem para a solução particular constante
.