Reescreva cada frase abaixo na forma ‘. se, e somente se…’.
A condição necessária e suficiente para que um polinômio
, na variável
, tenha
como raiz é que esse polinômio seja divisível por
.
A condição necessária e suficiente para que um polinômio
Passo 1
O enunciado dá uma afirmação sobre um polinômio
(em
), a variável
e um número
. O que foi dado e pedido é:
- Dado: um polinômio
na variável . - Dado: a expressão “
é raiz de ” e a expressão “ é divisível por ”. - Pedido: reescrever a frase original na forma “. se, e somente se …”, ou seja, apresentar a equivalência entre as duas afirmações usando “se, e somente se”.
Passo 2
Primeiro, vamos entender claramente o significado das duas afirmações que queremos ligar:
- “
é raiz de ” significa que, ao avaliar o polinômio em , o resultado é zero. Em símbolos: é raiz de significa . - “
é divisível por ” significa que existe outro polinômio tal que . Em símbolos: existe polinomial com . - “Se, e somente se” significa equivalência lógica: a primeira afirmação vale exatamente quando a segunda vale; é necessário e suficiente. Para provar ou entender isso, normalmente mostramos as duas implicações: (i) se a primeira então a segunda; (ii) se a segunda então a primeira.
Passo 3
Agora vamos usar o algoritmo da divisão de polinômios (ou o teorema do resto) para relacionar as duas afirmações. A divisão de um polinômio
por um divisor não nulo fornece um quociente e um resto com grau menor que o grau do divisor. No caso do divisor
(que tem grau 1), o resto é uma constante
. Assim podemos escrever:
onde
é um polinômio e
é um número (constante). Agora avaliando em
obtemos:
Logo
. Dessa igualdade tiramos a equivalência imediata:
- Se
, então , e da expressão acima segue , ou seja, é divisível por . - Se
, então ao avaliar em fica , ou seja, é raiz de .
Portanto as duas afirmações são logicamente equivalentes:é verdadeiro exatamente quando existe tal que .
Passo 4
Resumo amigo e prático: mostramos que avaliar o polinômio em
dá o resto da divisão por
; o resto é zero exatamente quando há divisibilidade. Isso é o conteúdo do Teorema do Resto / Teorema do Factor, e é o que permite reescrever a frase na forma pedida.