Reescreva cada frase abaixo na forma ‘. se, e somente se…’.
A condição necessária e suficiente para que um polinômio p, na variável x, tenha x=a como raiz é que esse polinômio seja divisível por (x-a).

Passo 1

O enunciado dá uma afirmação sobre um polinômio p (em x), a variável x e um número a. O que foi dado e pedido é:
  • Dado: um polinômio p(x) na variável x.
  • Dado: a expressão “ x=a é raiz de p” e a expressão “ p é divisível por (x-a)”.
  • Pedido: reescrever a frase original na forma “. se, e somente se …”, ou seja, apresentar a equivalência entre as duas afirmações usando “se, e somente se”.

Passo 2

Primeiro, vamos entender claramente o significado das duas afirmações que queremos ligar:
  • x=a é raiz de p” significa que, ao avaliar o polinômio em x=a, o resultado é zero. Em símbolos: x=a é raiz de p significa p(a)=0.
  • p é divisível por (x-a)” significa que existe outro polinômio q(x) tal que p(x)=(x-a)\,q(x). Em símbolos: existe q(x) polinomial com p(x)=(x-a)q(x).
  • “Se, e somente se” significa equivalência lógica: a primeira afirmação vale exatamente quando a segunda vale; é necessário e suficiente. Para provar ou entender isso, normalmente mostramos as duas implicações: (i) se a primeira então a segunda; (ii) se a segunda então a primeira.

Passo 3

Agora vamos usar o algoritmo da divisão de polinômios (ou o teorema do resto) para relacionar as duas afirmações. A divisão de um polinômio p(x) por um divisor não nulo fornece um quociente e um resto com grau menor que o grau do divisor. No caso do divisor x-a (que tem grau 1), o resto é uma constante r. Assim podemos escrever:
p(x)=(x-a)\,q(x)+r,
onde q(x) é um polinômio e r é um número (constante). Agora avaliando em x=a obtemos:
p(a)=(a-a)\,q(a)+r=0\cdot q(a)+r=r.
Logo p(a)=r. Dessa igualdade tiramos a equivalência imediata:
  • Se p(a)=0, então r=0, e da expressão acima segue p(x)=(x-a)q(x), ou seja, p é divisível por (x-a).
  • Se p(x)=(x-a)q(x), então ao avaliar em x=a fica p(a)=0, ou seja, x=a é raiz de p.
    Portanto as duas afirmações são logicamente equivalentes: p(a)=0 é verdadeiro exatamente quando existe q(x) tal que p(x)=(x-a)q(x).

Passo 4

Resumo amigo e prático: mostramos que avaliar o polinômio em a dá o resto da divisão por x-a; o resto é zero exatamente quando há divisibilidade. Isso é o conteúdo do Teorema do Resto / Teorema do Factor, e é o que permite reescrever a frase na forma pedida.

Resposta

p(x) tem x=a como raiz se, e somente se, p(x) é divisível por (x-a).

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