As definições iniciais sobre equações diferenciais são importantes, principalmente, para que se saiba escolher o método de resolução mais promissor. Quando essa escolha é bem sucedida, tem-se em mãos um plano que, se seguido, conduz à solução almejada. Obviamente, podem existir etapas de difícil execução ou até impossíveis.
Para as equações diferenciais de primeira ordem, existe a classe das equações exatas, bastante presente em aplicações.
A partir do texto apresentado, assinale a opção que apresenta uma equação diferencial ordinária de primeira ordem exata.
Para as equações diferenciais de primeira ordem, existe a classe das equações exatas, bastante presente em aplicações.
A partir do texto apresentado, assinale a opção que apresenta uma equação diferencial ordinária de primeira ordem exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Nosso objetivo é verificar se essa equação é uma equação exata. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma equação diferencial exata e como identificar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o que é uma equação exata. Uma equação diferencial da forma:
é chamada de exata se houver uma função
tal que:
Isso significa que ambas as derivadas parciais vêm da mesma função
. Para verificar se a equação é exata, a gente checa se as derivadas cruzadas de
e
são iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos identificar
e
na equação que temos:
Então, temos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Segundo, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos comparar as duas derivadas parciais que calculamos:
Para a equação ser exata, essas duas expressões deveriam ser iguais para todo
e
.
Passo 5
Observamos que
não é igual a 4 para todo
. Portanto, as derivadas parciais não são iguais, ou seja:
Isso significa que a equação diferencial dada não é exata.
Resposta
A equação diferencial
não é exata.