As definições iniciais sobre equações diferenciais são importantes, principalmente, para que se saiba escolher o método de resolução mais promissor. Quando essa escolha é bem sucedida, tem-se em mãos um plano que, se seguido, conduz à solução almejada. Obviamente, podem existir etapas de difícil execução ou até impossíveis.
Para as equações diferenciais de primeira ordem, existe a classe das equações exatas, bastante presente em aplicações.
A partir do texto apresentado, assinale a opção que apresenta uma equação diferencial ordinária de primeira ordem exata.
(3 x^2+x y) d x+(4 x-2 y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Nosso objetivo é verificar se essa equação é uma equação exata. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma equação diferencial exata e como identificar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o que é uma equação exata. Uma equação diferencial da forma:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
é chamada de exata se houver uma função partial Phipartial x = M e partial Phipartial y = N tal que:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Isso significa que ambas as derivadas parciais vêm da mesma função . Para verificar se a equação é exata, a gente checa se as derivadas cruzadas de e são iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos identificar (3x^2 + xy) , dx + (4x - 2y) , dy = 0 e M(x, y) = 3x^2 + xy e N(x, y) = 4x - 2y na equação que temos:
partial Mpartial y = partialpartial y (3x^2 + xy) = x
Então, temos:
partial Npartial x = partialpartial x (4x - 2y) = 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Segundo, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas derivadas parciais que calculamos:
partial Mpartial y = x e partial Npartial x = 4
Para a equação ser exata, essas duas expressões deveriam ser iguais para todo e .

Passo 5

Observamos que partial Mpartial y neq partial Npartial x não é igual a 4 para todo . Portanto, as derivadas parciais não são iguais, ou seja:
Isso significa que a equação diferencial dada não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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