Encontre f^prime(x) e f^prime(x), onde
f(x)=e^x ln (x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=e^xln(x^2+1). Vamos usar Regra do Produto (para e^xcdotln(cdot)) e Regra da Cadeia (para derivar ln(x^2+1)) para encontrar f'(x), e depois derivar novamente para achar f''(x).

Passo 2

Aplicamos a regra do produto em f(x)=u(x)v(x), onde u(x)=e^x e v(x)=ln(x^2+1). Sabemos que u'(x)=e^x e, pela regra da cadeia, v'(x)=2xx^2+1. Logo,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=e^xln(x^2+1)+e^xcdot2xx^2+1

Passo 3

Fatorando e^x, obtemos uma forma mais enxuta:
f'(x)=e^xl(ln(x^2+1)+2xx^2+1r)

Passo 4

Para calcular f''(x), derivamos f'(x)=e^xcdot W(x), onde W(x)=ln(x^2+1)+2xx^2+1. Primeiro, (e^x)'=e^x. Depois, derivamos W(x):
  • A derivada de ln(x^2+1) é 2xx^2+1.
  • A derivada de 2xx^2+1 usa a regra do quociente:
ddxl(2xx^2+1r)=2(x^2+1)-2xcdot2x(x^2+1)^2=2-2x^2(x^2+1)^2=2(1-x^2)(x^2+1)^2

Passo 5

Somando as partes, temos W'(x)=2xx^2+1+2(1-x^2)(x^2+1)^2. Agora aplicamos a regra do produto em f'(x)=e^xW(x):
f''(x)=e^xW(x)+e^xW'(x)=e^xl(ln(x^2+1)+2xx^2+1r)+e^xcdot2(1-x^2)(x^2+1)^2

Passo 6

Por fim, fatorando e^x novamente, chegamos à forma simplificada de f''(x).

Resposta

f'(x)=e^xl(ln(x^2+1)+2xx^2+1r)
f''(x)=e^xl(ln(x^2+1)+2xx^2+1+2(1-x^2)(x^2+1)^2r)

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