As definições iniciais sobre equações diferenciais são importantes, principalmente, para que se saiba escolher o método de resolução mais promissor. Quando essa escolha é bem sucedida, tem-se em mãos um plano que, se seguido, conduz à solução almejada. Obviamente, podem existir etapas de difícil execução ou até impossíveis.
Para as equações diferenciais de primeira ordem, existe a classe das equações exatas, bastante presente em aplicações.
A partir do texto apresentado, assinale a opção que apresenta uma equação diferencial ordinária de primeira ordem exata.
(e^x+4 x y) d x+(2 x^2-sen y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente sobre as equações exatas. Nosso objetivo é verificar se a equação que você enviou é realmente uma equação diferencial exata. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como identificar isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação que correspondem a (e^x + 4xy) dx + (2x^2 - sen,y) dy = 0 e . A equação que temos é:
Aqui, podemos ver que:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de partial Mpartial y = partialpartial y (e^x + 4xy) = 0 + 4x = 4x em relação a partial Npartial x = partialpartial x (2x^2 - sen,y) = 4x - 0 = 4x e de em relação a .
Vamos calcular :
Agora, calculamos :

Passo 4

Comparando as duas derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4x e partial Npartial x = 4x
Como , a condição para a equação ser exata é satisfeita.

Resposta

A equação diferencial dada é exata.

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