As definições iniciais sobre equações diferenciais são importantes, principalmente, para que se saiba escolher o método de resolução mais promissor. Quando essa escolha é bem sucedida, tem-se em mãos um plano que, se seguido, conduz à solução almejada. Obviamente, podem existir etapas de difícil execução ou até impossíveis.
Para as equações diferenciais de primeira ordem, existe a classe das equações exatas, bastante presente em aplicações.
A partir do texto apresentado, assinale a opção que apresenta uma equação diferencial ordinária de primeira ordem exata.
Para as equações diferenciais de primeira ordem, existe a classe das equações exatas, bastante presente em aplicações.
A partir do texto apresentado, assinale a opção que apresenta uma equação diferencial ordinária de primeira ordem exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equações diferenciais de primeira ordem exatas. A gente precisa entender o que é uma equação exata e identificar se a equação dada se encaixa nessa categoria. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivadas parciais e como verificar se uma equação é exata.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação diferencial da forma:
é considerada exata se existir uma função
tal que:
Ou seja, as derivadas parciais de uma mesma função
em relação a
e
devem corresponder a
e
, respectivamente.
Passo 3
Para verificar se a equação dada é exata, vamos calcular as derivadas parciais de
e
e comparar. A condição para a exatidão é:
Se essa igualdade for verdadeira, a equação é exata.
Passo 4
Vamos identificar
e
na equação fornecida:
Aqui, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 6
Comparando as derivadas:
Como
, a condição para a exatidão não é satisfeita.
Resposta
A equação diferencial dada não é exata, pois as derivadas parciais de
e
não são iguais.