As definições iniciais sobre equações diferenciais são importantes, principalmente, para que se saiba escolher o método de resolução mais promissor. Quando essa escolha é bem sucedida, tem-se em mãos um plano que, se seguido, conduz à solução almejada. Obviamente, podem existir etapas de difícil execução ou até impossíveis.
Para as equações diferenciais de primeira ordem, existe a classe das equações exatas, bastante presente em aplicações.
A partir do texto apresentado, assinale a opção que apresenta uma equação diferencial ordinária de primeira ordem exata.
(3 x+2 y) d x+(3 x+2 y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equações diferenciais de primeira ordem exatas. A gente precisa entender o que é uma equação exata e identificar se a equação dada se encaixa nessa categoria. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivadas parciais e como verificar se uma equação é exata.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação diferencial da forma:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
é considerada exata se existir uma função partial Psipartial x = M e partial Psipartial y = N tal que:
Ou seja, as derivadas parciais de uma mesma função em relação a e devem corresponder a e , respectivamente.

Passo 3

Para verificar se a equação dada é exata, vamos calcular as derivadas parciais de partial Mpartial y = partial Npartial x e e comparar. A condição para a exatidão é:
Se essa igualdade for verdadeira, a equação é exata.

Passo 4

Vamos identificar (3x + 2y) , dx + (3x + 2y) , dy = 0 e na equação fornecida:
Aqui, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada de partial Mpartial y = partialpartial y(3x + 2y) = 2 em relação a partial Npartial x = partialpartial x(3x + 2y) = 3 :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 6

Comparando as derivadas:
partial Mpartial y = 2 e partial Npartial x = 3
Como , a condição para a exatidão não é satisfeita.

Resposta

A equação diferencial dada não é exata, pois as derivadas parciais de e não são iguais.

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