As definições iniciais sobre equações diferenciais são importantes, principalmente, para que se saiba escolher o método de resolução mais promissor. Quando essa escolha é bem sucedida, tem-se em mãos um plano que, se seguido, conduz à solução almejada. Obviamente, podem existir etapas de difícil execução ou até impossíveis.
Para as equações diferenciais de primeira ordem, existe a classe das equações exatas, bastante presente em aplicações.
A partir do texto apresentado, assinale a opção que apresenta uma equação diferencial ordinária de primeira ordem exata.
Para as equações diferenciais de primeira ordem, existe a classe das equações exatas, bastante presente em aplicações.
A partir do texto apresentado, assinale a opção que apresenta uma equação diferencial ordinária de primeira ordem exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Nosso objetivo é identificar se a equação dada é exata, que é um tipo específico de equação diferencial bastante usada em diversas aplicações. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e aplicar esses conceitos na equação que o exercício nos apresentou.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que nos foi dada:
Aqui, podemos identificar duas partes importantes: a função que multiplica
e a que multiplica
. Vamos chamar:
Essas funções
e
são essenciais para verificar se a equação é exata.
Passo 3
Para saber se a equação é exata, a gente precisa verificar uma condição específica: a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, se:
Se essa igualdade for verdadeira, então a equação diferencial é exata.
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas que calculamos:
Vemos que
, a menos que
, o que não é uma condição geral válida para todas as soluções da equação.
Resposta
Como
, a equação diferencial dada não é exata.