As definições iniciais sobre equações diferenciais são importantes, principalmente, para que se saiba escolher o método de resolução mais promissor. Quando essa escolha é bem sucedida, tem-se em mãos um plano que, se seguido, conduz à solução almejada. Obviamente, podem existir etapas de difícil execução ou até impossíveis.
Para as equações diferenciais de primeira ordem, existe a classe das equações exatas, bastante presente em aplicações.
A partir do texto apresentado, assinale a opção que apresenta uma equação diferencial ordinária de primeira ordem exata.
(5 x y-x) d x+(5 x+2 y^3) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Nosso objetivo é identificar se a equação dada é exata, que é um tipo específico de equação diferencial bastante usada em diversas aplicações. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e aplicar esses conceitos na equação que o exercício nos apresentou.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que nos foi dada:
(5xy - x) , dx + (5x + 2 y^3) , dy = 0
Aqui, podemos identificar duas partes importantes: a função que multiplica M(x, y) = 5xy - x e N(x, y) = 5x + 2y^3 e a que multiplica . Vamos chamar:
Essas funções e são essenciais para verificar se a equação é exata.

Passo 3

Para saber se a equação é exata, a gente precisa verificar uma condição específica: a derivada parcial de partial Mpartial y = partial Npartial x em relação a deve ser igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, se:
Se essa igualdade for verdadeira, então a equação diferencial é exata.

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas:
Primeiro, derivamos partial Mpartial y = partialpartial y(5xy - x) = 5x - 0 = 5x em relação a partial Npartial x = partialpartial x(5x + 2y^3) = 5 + 0 = 5 :
Agora, derivamos em relação a :

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas que calculamos:
partial Mpartial y = 5x e partial Npartial x = 5
Vemos que , a menos que , o que não é uma condição geral válida para todas as soluções da equação.

Resposta

Como , a equação diferencial dada não é exata.

Exercícios relacionados