Sobre Derivadas:
Calcule f^prime(x) onde:
f(x)=arctan (ln (cos (x e^x)))

Passo 1

Estamos derivando a função f(x)=arctanl(ln(cos(xe^x))r). O conteúdo é derivadas, especialmente aplicação da regra da cadeia para funções compostas: arctan, ln, cos e o produto x e^x.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia em f(x)=arctan(u(x)), com u(x)=ln(cos(xe^x)), temos
f'(x)=u'(x)1+l(u(x)r)^2

Passo 3

Para u(x)=ln(v(x)), em que v(x)=cos(xe^x), usamos a derivada do logaritmo:
u'(x)=v'(x)v(x)

Passo 4

Para v(x)=cos(w(x)), com w(x)=x e^x, usamos a derivada do cosseno:
v'(x)=-sinl(w(x)r)cdot w'(x)

Passo 5

Para w(x)=x e^x, aplicamos a regra do produto:
w'(x)=1cdot e^x + xcdot e^x = e^x + x e^x = e^x(1+x)

Passo 6

Agora juntamos tudo e simplificamos:

que fica
f'(x)=11+l(ln(cos(xe^x))r)^2cdot1cos(xe^x)cdotl(-sin(xe^x)cdot e^x(1+x)

Resposta

-\dfrac{ex(1+x)\tan\bigl(xex\bigr)}{1+\bigl(\ln\bigl(\cos(xex)\bigr)\bigr)2}

Exercícios relacionados