Exercício 2. (Rudin cap. 7 ex. 15) Seja f: C^n C uma função holomorfa, N in N0 e r >= 0. Suponha que
|f(z)| <= & (1+|z|)^N e^r|Im(z)|, forall z in C^n & |f(x)| <= 1, forall x in R^n
Prove que
|f(z)| <= e^r|Im(z)|, forall z in C^n
Dica: Fixe z=x+i y in C^n, x in R^n, y in R^n e s>0. Defina a função holomorfa gs: C C por gs(lambda)=(1-i s lambda)^-N-1 e^i r|y| lambda f(x+lambda y). Usando o princípio do máximo módulo, sabemos que no conjunto lambda in C ;|lambda| <= R e Im(lambda) >= 0, o máximo de gs ocorre na fronteira deste conjunto. Logo, tomando R grande, concluímos que |gs(i)|<1. Tomando s 0^+, conclua o resultado.

Passo 1

O enunciado dá uma função inteira f:C^ntoC satisfazendo as duas estimativas
|f(z)|<=(1+|z|)^Ne^r|Im z|,forall zinC^n,
|f(x)|<=1,forall xinR^n,
e pede para mostrar que na verdade
|f(z)|<= e^,r|Im z|,forall zinC^n
Vamos fixar z=x+iy com x,yinR^n e usar o princípio do máximo de módulo em uma função auxiliar de variável complexa.

Passo 2

Fixe s>0 e defina
gs(lambda) =(1 - i,slambda)^-N-1;e^,i,r|y|lambda;fl(x+lambda yr),
para lambdainC. Como f é holomorfa em C^n e as demais funções de lambda são inteiras, segue que gs é inteira e, em particular, contínua no fecho do semicírculo
HR=lambdainC:,|lambda|<= R,;Imlambda>=0
Pelo princípio do máximo de módulo, o máximo de lvert gsrvert em HR ocorre na fronteira de HR.

Passo 3

Analisemos primeiro lambdainHR com Imlambda=0 e |lambda|<= R. Então lambdainR, logo x+lambda yinR^n e
|gs(lambda)| =|(1-i,slambda)^-N-1|;l|f(x+lambda y)r|
Como |f(x+lambda y)|<=1 e
|1 - i,slambda| =raiz1 + (slambda)^2>=1,
segue
|gs(lambda)|<=1para ,Imlambda=0

Passo 4

Agora considere lambda na outra parte da fronteira: |lambda|=R com Imlambda>=0. Usando a estimativa global de f,
l|f(x+lambda y)r| <=(1+|x+lambda y|)^N,e^,r|Im(x+lambda y)|
Como Im(x+lambda y)=Imlambda;y, temos |Im(x+lambda y)|=Imlambda;|y|. Além disso
|e^,i,r|y|lambda| =e^-,r|y|Imlambda, |1 - i,slambda|>= sR -1
Logo
|gs(lambda)| <=(1+|x+lambda y|)^N,e^,r|y|Imlambda(sR-1)^N+1;e^-,r|y|Imlambda =(1+|x+lambda y|)^N(sR-1)^N+1
Como |x+lambda y|<=|x|+R|y|, o numerador cresce como O(R^N) e o denominador como (sR)^N+1. Para Rto+infty esse quociente tende a zero, então para R suficientemente grande
|gs(lambda)|<=1 quando |lambda|=R,;Imlambda>=0

Passo 5

Pelo princípio do máximo de módulo, em todo HR vale |gs(lambda)|<=1. Em particular, em lambda=i (que está em HR para R>=1) temos
|gs(i)|<=1
Mas
gs(i) =(1 - i,s,i)^-N-1;e^,i,r|y|,i;f(x+i y) =(1+s)^-N-1;e^-,r|y|;f(x+i y),
de onde
(1+s)^-N-1,e^-,r|y|,l|f(x+i y)r|<=1 ;;Longrightarrow;; l|f(x+i y)r|<=(1+s)^N+1e^,r|y|

Passo 6

Como s>0 era arbitrário, tomando sto0^+ obtemos (1+s)^N+1to1 e então
l|f(x+i y)r|<= e^,r|y|
Como x+iy=z era um ponto arbitrário de C^n, concluímos
|f(z)|<= e^,r|Im z|, forall zinC^n,
que é justamente o que queríamos provar.

Resposta

|f(z)|<= e^,r|Im z|,forall zinC^n

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