Exercício 2. (Rudin cap. 7 ex. 15) Seja uma função holomorfa, e . Suponha que
Prove que
Dica: Fixe e . Defina a função holomorfa por . Usando o princípio do máximo módulo, sabemos que no conjunto e , o máximo de ocorre na fronteira deste conjunto. Logo, tomando grande, concluímos que . Tomando , conclua o resultado.
Passo 1
O enunciado dá uma função inteira satisfazendo as duas estimativas
e pede para mostrar que na verdade
Vamos fixar com e usar o princípio do máximo de módulo em uma função auxiliar de variável complexa.
Passo 2
Fixe e defina
para . Como é holomorfa em e as demais funções de são inteiras, segue que é inteira e, em particular, contínua no fecho do semicírculo
Pelo princípio do máximo de módulo, o máximo de em ocorre na fronteira de HR.
Passo 3
Analisemos primeiro lambdainHR com Imlambda=0 e |lambda|<= R. Então lambdainR, logo x+lambda yinR^n e
Como |x+lambda y|<=|x|+R|y|, o numerador cresce como O(R^N) e o denominador como (sR)^N+1. Para Rto+infty esse quociente tende a zero, então para R suficientemente grande
|gs(lambda)|<=1 quando |lambda|=R,;Imlambda>=0
Passo 5
Pelo princípio do máximo de módulo, em todo HR vale |gs(lambda)|<=1. Em particular, em lambda=i (que está em HR para R>=1) temos