Definindo:
- diâmetro da esfera de igual volume que a partícula;
- diâmetro da esfera de igual área projetada que a partícula (configuração mais estável na lâmina do microscópio);
St - diâmetro de Stokes;
- diâmetro da esfera de igual perímetro projetado que a partícula (configuração mais estável na lâmina do microscópio);
determinar
para uma partícula cúbica e para uma partícula em forma de disco (diâmetro 5 vezes maior que a altura).
determinar
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente calcular três “diâmetros equivalentes” de partículas não‐esféricas:
- dₚ: diâmetro da esfera de mesmo volume (volume‐equivalente)
- dₐ: diâmetro da esfera de mesma área projetada (área‐equivalente)
- d_{St}: diâmetro da esfera que, na lei de Stokes, caí na mesma velocidade (Stokes‐equivalente)
- d_{π}: diâmetro da esfera de mesmo perímetro projetado (perímetro‐equivalente)
Precisamos dessas quatro grandezas para duas formas:
- um cubo de aresta a
- um disco de altura h e diâmetro D = 5 h
Para isso vamos usar:
• fórmula do volume‐equivalente:
dₚ = (6 V/π)^(1/3)
• área projetada na posição estável (maior face) → dₐ = (4 A/π)^(1/2)
• perímetro projetado na posição estável → d_{π} = (perímetro)/π
• para o diâmetro de Stokes usamos a definição
d_{St} = K/(3 π μ)
onde K é o coeficiente de atrito em Stokes (F = K v), e μ a viscosidade do fluido.
• fórmula do volume‐equivalente:
dₚ = (6 V/π)^(1/3)
• área projetada na posição estável (maior face) → dₐ = (4 A/π)^(1/2)
• perímetro projetado na posição estável → d_{π} = (perímetro)/π
• para o diâmetro de Stokes usamos a definição
d_{St} = K/(3 π μ)
onde K é o coeficiente de atrito em Stokes (F = K v), e μ a viscosidade do fluido.
Nos passos seguintes a gente resolve passo a passo para o cubo e para o disco.
Passo 2
-
Volume do cubo: V = a³
⇒ dₚ = (6 a³/π)^(1/3) = (6/π)^(1/3) a ≃ 1.240 a -
Área projetada (face estável): A = a²
⇒ dₐ = (4 a²/π)^(1/2) = 2 a/√π ≃ 1.128 a -
Perímetro projetado (contorno da face): P = 4 a
⇒ d_{π} = P/π = 4 a/π ≃ 1.273 a -
Atrito em Stokes (coeficiente K):
– para um cubo com face perpendicular ao fluxo, tabelas de mecânica de fluídos dão
K_cubo ≃ 3.504 π μ a
⇒ d_{St} = K_cubo/(3 π μ) = 3.504 π μ a/(3 π μ) ≃ 1.168 a
Então as razões ficam:
• dₚ/dₐ = 1.240 a / 1.128 a ≃ 1.10
• dₚ/d_{St} = 1.240 a / 1.168 a ≃ 1.06
• dₚ/d_{π} = 1.240 a / 1.273 a ≃ 0.97
• dₚ/dₐ = 1.240 a / 1.128 a ≃ 1.10
• dₚ/d_{St} = 1.240 a / 1.168 a ≃ 1.06
• dₚ/d_{π} = 1.240 a / 1.273 a ≃ 0.97
Passo 3
-
Volume do disco: V = (π D²/4) h = π (5 h)²/4·h = (25 π/4) h³ ≃ 19.635 h³
⇒ dₚ = [6 V/π]^(1/3) = [6·19.635/π]^(1/3) h ≃ (37.5)^(1/3) h ≃ 3.36 h -
Área projetada (círculo de diâmetro D):
A = π D²/4 = (25 π/4) h² ≃ 19.635 h²
⇒ dₐ = (4 A/π)^(1/2) = (4·19.635/π)^(1/2) h = 5 h -
Perímetro projetado (circunferência de diâmetro D):
P = π D = 5 π h
⇒ d_{π} = P/π = 5 h -
Atrito em Stokes (para disco perpendicular ao fluxo existe fórmula conhecida):
K_disco = (16/3) μ R, sendo R = D/2 = 2.5 h
⇒ K_disco = (16/3) μ·2.5 h = (40/3) μ h
⇒ d_{St} = K_disco/(3 π μ) = [(40/3) μ h]/(3 π μ) = 40 h/(9 π) ≃ 1.415 h
Então as razões:
• dₚ/dₐ = 3.36 h / 5 h ≃ 0.672
• dₚ/d_{St} = 3.36 h / 1.415 h ≃ 2.38
• dₚ/d_{π} = 3.36 h / 5 h ≃ 0.672
• dₚ/dₐ = 3.36 h / 5 h ≃ 0.672
• dₚ/d_{St} = 3.36 h / 1.415 h ≃ 2.38
• dₚ/d_{π} = 3.36 h / 5 h ≃ 0.672
Resposta
Para o cubo (aresta a):
dₚ/dₐ ≃ 1.10; dₚ/d_{St} ≃ 1.06; dₚ/d_{π} ≃ 0.97
dₚ/dₐ ≃ 1.10; dₚ/d_{St} ≃ 1.06; dₚ/d_{π} ≃ 0.97
Para o disco (D=5 h):
dₚ/dₐ ≃ 0.672; dₚ/d_{St} ≃ 2.38; dₚ/d_{π} ≃ 0.672
dₚ/dₐ ≃ 0.672; dₚ/d_{St} ≃ 2.38; dₚ/d_{π} ≃ 0.672