Definindo o operador diferencial
demonstre que, em coordenadas cartesianas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em coordenadas cartesianas, o operador divergência de um campo vetorial
pode ser escrito em notação de índices como
Aqui usamos o operador nabla definido por
, onde
. Vamos usar a definição de produto escalar em bases ortonormais e as propriedades do delta de Kronecker.
Passo 2
Lembrando que, em qualquer base ortonormal
, o produto escalar entre dois vetores
e
é dado por
e, como
, isso reduz a
Passo 3
Aplicando isso ao produto escalar
, temos
Logo
Passo 4
Como
força
, a soma
fica simplesmente
Isso prova a relação desejada em coordenadas cartesianas.