Definindo o operador diferencial nabla=ei partiali=ei partialpartial xi demonstre que, em coordenadas cartesianas:
div(v)=nabla cdot v=partiali vi

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em coordenadas cartesianas, o operador divergência de um campo vetorial vec v pode ser escrito em notação de índices como
div(vec v)=nablacdotvec v=partiali vi
Aqui usamos o operador nabla definido por nabla=vec eipartiali, onde partiali=partialpartial xi. Vamos usar a definição de produto escalar em bases ortonormais e as propriedades do delta de Kronecker.

Passo 2

Lembrando que, em qualquer base ortonormal vec ei, o produto escalar entre dois vetores vec A=Aivec ei e vec B=Bjvec ej é dado por
vec Acdotvec B = Ai,Bj,(vec eicdotvec ej)
e, como vec eicdotvec ej=de<aij, isso reduz a
vec Acdotvec B = Ai,Bj,de<aij=Ai,Bi

Passo 3

Aplicando isso ao produto escalar nablacdotvec v, temos
nabla=vec ei,partiali e vec v = vec ej,vj
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nablacdotvec v = (vec ei,partiali)cdot(vec ej,vj) = partiali,vj,(vec eicdotvec ej) = partiali,vj,de<aij

Passo 4

Como de<aij força i=j, a soma partiali vj,de<aij fica simplesmente
partiali,vi
Isso prova a relação desejada em coordenadas cartesianas.

Resposta

div(vec v)=nablacdotvec v=partiali vi

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