Definindo o operador diferencial
demonstre que, em coordenadas cartesianas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em coordenadas cartesianas, o rotor de um campo vetorial
pode ser escrito em notação de índices como
O conteúdo principal é o produto vetorial usando o símbolo de Levi-Civita
e o operador diferencial
. Vamos usar a definição do produto vetorial em índices e aplicar ao par
.
Passo 2
Lembrando a definição do produto vetorial de dois vetores
e
em componentes:
Passo 3
Interpretamos o operador diferencial como um vetor:
onde
. E escrevemos o campo vetorial em componentes:
Passo 4
Aplicando a definição de produto vetorial ao par
temos
Pelo formato em índices,
Passo 5
Recolocando em forma vetorial, concluímos que
que é exatamente a expressão pedida.