Definindo o operador diferencial nabla=ei partiali=ei partialpartial xi demonstre que, em coordenadas cartesianas:
rot(v)=nabla times v=ei epsiloni j k partialj vk

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em coordenadas cartesianas, o rotor de um campo vetorial vec v pode ser escrito em notação de índices como
rot(vec v)=nablatimesvec v =vec ei,epsilonijk,partialj vk
O conteúdo principal é o produto vetorial usando o símbolo de Levi-Civita epsilonijk e o operador diferencial nabla=vec ei,partiali. Vamos usar a definição do produto vetorial em índices e aplicar ao par (nabla,vec v).

Passo 2

Lembrando a definição do produto vetorial de dois vetores vec A e vec B em componentes:
vec Atimesvec B =vec ei,(Atimes B)i com (Atimes B)i =epsilonijk,Aj,Bk

Passo 3

Interpretamos o operador diferencial como um vetor:
nabla = vec ei,partiali,
onde partiali=partialpartial xi. E escrevemos o campo vetorial em componentes:
vec v = vec ek,vk

Passo 4

Aplicando a definição de produto vetorial ao par (nabla,vec v) temos
nablatimesvec v =l(vec ei,partialir)timesl(vec ek,vkr) =vec ei;l(partialtimes vr)i
Pelo formato em índices,
(nablatimes v)i =epsilonijk,l(partialjr),vk =epsilonijk,partialj vk

Passo 5

Recolocando em forma vetorial, concluímos que
nablatimesvec v =vec ei,(nablatimes v)i =vec ei,epsilonijk,partialj vk,
que é exatamente a expressão pedida.

Resposta

rot(vec v) =nablatimesvec v =vec ei,epsilonijk,partialj vk

Exercícios relacionados