Usando notação indicial, demonstre que, em coordenadas cartesianas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em coordenadas cartesianas, vale
usando notação indicial. Vamos tratar
pelas suas componentes
, usar o símbolo de Levi-Civita
para o rotacional e as derivadas parciais
para as operações diferenciais.
Passo 2
Em notação indicial, as componentes do rotacional de
são dadas por
E a divergência de um vetor
é
Logo,
Passo 3
Substituindo a expressão de
na divergência, obtemos
pois
é constante e pode sair da derivada.
Passo 4
Note que
por comutatividade das derivadas parciais, enquanto
por antisimetricidade. Trocando
no índice de soma:
Assim a quantidade é igual ao seu negativo, o que implica que ela deve ser zero.