Usando notação indicial, demonstre que, em coordenadas cartesianas:
div(rot(v))=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em coordenadas cartesianas, vale
div(rot(vec v))=0
usando notação indicial. Vamos tratar vec v pelas suas componentes vi, usar o símbolo de Levi-Civita varepsilonijk para o rotacional e as derivadas parciais partiali para as operações diferenciais.

Passo 2

Em notação indicial, as componentes do rotacional de vec v são dadas por
(rot,vec v)i = varepsilonijk,partialj vk
E a divergência de um vetor wi é
div, vec w = partiali wi
Logo,
div(rot,vec v) =partialil((rot,vec v)ir)

Passo 3

Substituindo a expressão de (rot,vec v)i na divergência, obtemos
div(rot,vec v) =partialil(varepsilonijk,partialj vkr) =varepsilonijk,partialipartialj vk,
pois varepsilonijk é constante e pode sair da derivada.

Passo 4

Note que partialipartialj vk=partialjpartiali vk por comutatividade das derivadas parciais, enquanto varepsilonijk=-varepsilonjik por antisimetricidade. Trocando irightarrow j no índice de soma:
varepsilonijk,partialipartialj vk =-varepsilonijk,partialjpartiali vk =-varepsilonijk,partialipartialj vk
Assim a quantidade é igual ao seu negativo, o que implica que ela deve ser zero.

Resposta

div(rot(vec v))=0

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