1. O determinante da matriz [ccc1 & 0 & m 3 & 1 & 4 n & 2 & -5] é igual a-27. Determine os valores de m e n, sabendo que mn=2.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
1 & 0 & m 3 & 1 & 4 n & 2 & -5
de modo que esse determinante valha -27, sabendo ainda que
mn=2
Vamos usar a fórmula de expansão por co-factores e a condição de razão entre m e n.

Passo 2

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
Os menores são
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Passo 3

Impondo det=-27 temos
-13 + m,(6-n) = -27 Longrightarrow m,(6-n)=-14
Além disso, da relação mn=2 vem
m=2n

Passo 4

Substituindo m=2n na equação m(6-n)=-14, obtemos
2n,(6-n)=-14 Longrightarrow -2n^2+12n+14=0 Longrightarrow n^2-6n-7=0
A equação quadrática tem discrim-inante
De<a = (-6)^2-4cdot1cdot(-7)=36+28=64,
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n=6pm82 ;Longrightarrow; n=7ou n=-1

Passo 5

Em cada caso m=2n
n=7;Longrightarrow;m=14, n=-1;Longrightarrow;m=-2

Resposta

Os pares (m,n) que satisfazem são
(m,n)=(14,7)ou(m,n)=(-2,-1)

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