O enunciado pede provar a desigualdade triangular |a+b|<=|a|+|b|
para todo a,binZ. Vamos usar propriedades básicas do valor absoluto definido por caso.
Passo 2
Para qualquer xinZ, analisamos dois casos:
Se x>=0 então |x|=x e assim
-|x|=-x<= x<= x=|x|
Se x<0 então |x|=-x e assim
-|x|=xe x<=0<=-,x=|x|,
de modo que novamente
-|x|<= x<=|x|
Logo, em ambos os casos vale
-|x|<= x<=|x|forall xinZ
Passo 3
Aplicando essa desigualdade a x=a e a x=b e somando membro a membro obtemos
-|a|-|b|<= a+b<=|a|+|b|
Passo 4
Pela definição de valor absoluto, se um inteiro c satisfaz -M<= c<= M para MinN, então |c|<= M. Tomando c=a+b e M=|a|+|b|, concluímos que
|a+b|<=|a|+|b|
Resposta
Portanto, mostramos que |a+b|<=|a|+|b| para todos a,binZ, provando a desigualdade triangular do valor absoluto.