Definindo,
|mid: Z & N a & squigarrow|a|=lll a & se & a >= 0 -a & se & a <= 0
Prove que:
|a+b| <=|a|+|b| forall a, b in Z

Passo 1

O enunciado pede provar a desigualdade triangular
|a+b|<=|a|+|b|
para todo a,binZ. Vamos usar propriedades básicas do valor absoluto definido por caso.

Passo 2

Para qualquer xinZ, analisamos dois casos:
Se x>=0 então |x|=x e assim
-|x|=-x<= x<= x=|x|
Se x<0 então |x|=-x e assim
-|x|=xe x<=0<=-,x=|x|,
de modo que novamente
-|x|<= x<=|x|
Logo, em ambos os casos vale
-|x|<= x<=|x|forall xinZ

Passo 3

Aplicando essa desigualdade a x=a e a x=b e somando membro a membro obtemos
-|a|-|b|<= a+b<=|a|+|b|

Passo 4

Pela definição de valor absoluto, se um inteiro c satisfaz -M<= c<= M para MinN, então |c|<= M. Tomando c=a+b e M=|a|+|b|, concluímos que
|a+b|<=|a|+|b|

Resposta

Portanto, mostramos que |a+b|<=|a|+|b| para todos a,binZ, provando a desigualdade triangular do valor absoluto.

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