Definindo,
Prove que:
|a| >= 0 forall a in Z ; |a|=0 Leftrightarrow a=0
Passo 1
O enunciado define a função valor absoluto
Precisamos mostrar duas coisas:
- .
-
se, e somente se, .
Passo 2
Prova de
|a|>=0 .
Pela definição de|a| temos dois casos:
Pela definição de
- Se
, entãoa>=0 . Mas como|a|=a , seguea>=0 .|a|=a>=0 - Se
, entãoa<=0 . Mas se|a|=-a entãoa<=0 , logo-a>=0 .|a|=-a>=0
Em ambos os casos .|a|>=0
Passo 3
Prova de
|a|=0Leftrightarrow a=0 .
“Rightarrow ”: Suponha
|a|=0 . De novo por definição há dois casos:
“
- Se
, entãoa>=0 . Logo|a|=a .a=|a|=0 - Se
, entãoa<=0 . Logo|a|=-a e então-a=|a|=0 .a=0
Em ambos se conclui .a=0
“
Leftarrow ”: Se
a=0 então tanto na primeira quanto na segunda definição temos
|0|=0 .
Resposta
Foi provado que
e que