Definindo,
|mid: Z & N a & squigarrow|a|=lll a & se & a >= 0 -a & se & a <= 0
Prove que:
|a| >= 0 forall a in Z ; |a|=0 Leftrightarrow a=0

Passo 1

O enunciado define a função valor absoluto
Precisamos mostrar duas coisas:
  1. .
  2. se, e somente se, .

Passo 2

Prova de |a|>=0.
Pela definição de |a| temos dois casos:
  1. Se a>=0, então |a|=a. Mas como a>=0, segue |a|=a>=0.
  2. Se a<=0, então |a|=-a. Mas se a<=0 então -a>=0, logo |a|=-a>=0.
    Em ambos os casos |a|>=0.

Passo 3

Prova de |a|=0Leftrightarrow a=0.
Rightarrow”: Suponha |a|=0. De novo por definição há dois casos:
  • Se a>=0, então |a|=a. Logo a=|a|=0.
  • Se a<=0, então |a|=-a. Logo -a=|a|=0 e então a=0.
    Em ambos se conclui a=0.
Leftarrow”: Se a=0 então tanto na primeira quanto na segunda definição temos |0|=0.

Resposta

Foi provado que
|a|>=0forall ainZ,
e que
|a|=0iff a=0

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