(a) Definir função ímpar, (b) apresentar uma função ímpar, (c) mostrar que a função apresentada é ímpar e (d) plotar o gráfico da referida função.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre funções ímpares:
– (a) definir rigorosamente o que é uma função ímpar;
– (b) dar um exemplo concreto de função ímpar;
– (c) provar que esse exemplo é de fato ímpar;
– (d) esboçar o gráfico dessa função.
Para isso, vamos usar a definição de paridade de funções e propriedades de polinômios.

Passo 2

Definição de função ímpar: uma função f com domínio DsubseteqR é ímpar se e somente se
forall xin D, -xin De f(-x) = -,f(x)
Em outras palavras, o gráfico de f é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Um exemplo simples de função ímpar é o polinômio
f(x) = x^3,
cujo domínio natural é D=R, que é simétrico em relação a zero.

Passo 4

Prova de que f(x)=x^3 é ímpar:
Para todo xinR,
f(-x) = (-x)^3 = -,x^3 = -,f(x)
Como -xinR sempre que xinR, a condição da definição está satisfeita. Logo, f é ímpar.

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico de f(x)=x^3:
– Passa pela origem (0,0).
– Valores típicos: f(1)=1, f(2)=8, f(-1)=-1, f(-2)=-8.
– É crescente em todo R e tem simetria ímpar (se (x,y) está no gráfico, então (-x,-y) também).
c y uparrow 8 | cdot | cdot 1 | cdot | cdot 0 cdot ──── cdot ──── to x | cdot -1 | cdot | cdot -8 cdot

Resposta

(a) Uma função fcolon DtoR é ímpar se, para todo xin D com -xin D, vale f(-x)=-f(x).
(b) f(x)=x^3.
(c) De fato, f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x).
(d) O gráfico é uma curva em forma de “S” que passa pela origem e é simétrica em relação à origem, por exemplo f(1)=1, f(2)=8, f(-1)=-1, f(-2)=-8.

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