(a) Definir função ímpar, (b) apresentar uma função ímpar, (c) mostrar que a função apresentada é ímpar e (d) plotar o gráfico da referida função.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre funções ímpares:
– (a) definir rigorosamente o que é uma função ímpar;
– (b) dar um exemplo concreto de função ímpar;
– (c) provar que esse exemplo é de fato ímpar;
– (d) esboçar o gráfico dessa função.
Para isso, vamos usar a definição de paridade de funções e propriedades de polinômios.
– (a) definir rigorosamente o que é uma função ímpar;
– (b) dar um exemplo concreto de função ímpar;
– (c) provar que esse exemplo é de fato ímpar;
– (d) esboçar o gráfico dessa função.
Para isso, vamos usar a definição de paridade de funções e propriedades de polinômios.
Passo 2
Definição de função ímpar: uma função
com domínio
é ímpar se e somente se
Em outras palavras, o gráfico de
é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Um exemplo simples de função ímpar é o polinômio
cujo domínio natural é
, que é simétrico em relação a zero.
Passo 4
Prova de que
é ímpar:
Para todo ,
Para todo
Como
sempre que
, a condição da definição está satisfeita. Logo,
é ímpar.
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico de
:
– Passa pela origem .
– Valores típicos: ,
,
,
.
– É crescente em todo e tem simetria ímpar (se
está no gráfico, então
também).
– Passa pela origem
– Valores típicos:
– É crescente em todo
Resposta
(a) Uma função
é ímpar se, para todo
com
, vale
.
(b) .
(c) De fato, .
(d) O gráfico é uma curva em forma de “S” que passa pela origem e é simétrica em relação à origem, por exemplo ,
,
,
.
(b)
(c) De fato,
(d) O gráfico é uma curva em forma de “S” que passa pela origem e é simétrica em relação à origem, por exemplo