Exercício 3.6.4. Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule:
Im=integral-2^2 d yy^2+4

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Im = integral-2^2 dyy^2 + 4
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar reconhecer que a integranda é uma função par (simétrica) e usar a fórmula
integral dyy^2 + a^2 = 1aarctan!l(yar) + C

Passo 2

Como 1y^2+4 é uma função par, temos
integral-2^2 dyy^2+4 = 2 integral0^2 dyy^2+4

Passo 3

Encontremos uma primitiva de 1y^2+4. Aqui a^2=4, logo a=2, e
F(y)=integral dyy^2+4 =12,arctan!l(y2r)

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral0^2 dyy^2+4 =F(2)-F(0) =12l[arctan!l(1r)-arctan!l(0r)r] =12cdotpi4 =pi8
Portanto
Im=2cdotpi8=pi4

Resposta

Im = pi4

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