Definir integral de linha de campo vetorial e dar pelo menos um exemplo (final da página 327 até a página 331);

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Definir o que é a integral de linha de um campo vetorial.
  • Fornecer pelo menos um exemplo (com cálculo passo a passo).
Informações relevantes dadas:
  • Não há figura nem dados adicionais: a tarefa é conceitual + exemplo(s).
  • Deve vir definição formal, interpretação e exemplos resolvidos.

Passo 2

Definição formal e notação (passo a passo, devagar).
  • Considere um campo vetorial \mathbf{F} definido numa região do plano (ou do espaço). Em duas dimensões escrevemos normalmente \mathbf{F}(x,y)=\langle P(x,y),\,Q(x,y)\rangle.
  • Considere uma curva orientada C no plano dada por uma parametrização contínua e diferenciável
\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^2,\qquad \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)).
  • A integral de linha do campo vetorial \mathbf{F} ao longo da curva C (também chamada de trabalho ou circulação) é definida por
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\; \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
  • Explicando as peças dessa fórmula:
    • \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado nos pontos da curva; se \mathbf{F}=\langle P,Q\rangle então \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\langle P(x(t),y(t)),\,Q(x(t),y(t))\rangle.
    • \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) é o vetor tangente à curva (velocidade da parametrização).
    • O produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) mede a componente do campo ao longo da direção da curva; integrando em t soma-se essa contribuição ao longo de todo o caminho.

Passo 3

Derivação intuitiva (por que essa definição faz sentido).
  • Divida a curva em pequenos segmentos \Delta \mathbf{r}_i. Em cada segmento o trabalho aproximado é \mathbf{F}(\mathbf{r}_i)\cdot\Delta\mathbf{r}_i.
  • Somando e passando ao limite obtém-se
\sum \mathbf{F}(\mathbf{r}_i)\cdot\Delta\mathbf{r}_i \;\longrightarrow\; \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
  • Com a parametrização \Delta\mathbf{r}_i\approx \mathbf{r}'(t_i)\Delta t surge a fórmula integral em t.

Passo 4

Observações importantes que ajudam na prova (dicas e variações).
  • Orientação: trocar a orientação da curva muda o sinal da integral. Se C tem parametrização \mathbf{r}(t) em [a,b], a mesma curva com orientação inversa tem parametrização \mathbf{r}(a+b-t) e a integral muda de sinal.
  • Caso \mathbf{F}(x,y)=\nabla\varphi(x,y) (i.e., \mathbf{F} é gradiente de uma função potencial \varphi), então a integral depende só dos extremos e vale a versão para campos conservativos (Teorema fundamental das integrais de linha):
\int_C \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}=\varphi(\mathbf{r}(b))-\varphi(\mathbf{r}(a)).
  • Se a integral for sobre uma curva fechada C (isto é, C começa e termina no mesmo ponto), e \mathbf{F} for conservativo numa região simplesmente conectada, então
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.
  • Existe também a integral de linha de uma função escalar ao longo de C:
\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf{r}(t))\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt,
que mede, por exemplo, massa distribuída ao longo de uma fio com densidade f.

Passo 5

Algoritmo prático para calcular numa prova (passo-a-passo para aplicar rápido):
  1. Parametrizar a curva C: encontrar \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], respeitando a orientação dada.
  2. Calcular \mathbf{r}'(t).
  3. Avaliar o campo na parametrização: \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)).
  4. Fazer o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t).
  5. Integrar de a até b.
  6. Se possível, antes de parametrizar veja se \mathbf{F} é gradiente de alguma \varphi; aí usa-se a diferença de potenciais e economiza tempo.

Passo 6

Exemplo 1 (campo conservativo — cálculo explícito e pelo potencial).
  • Campo: \mathbf{F}(x,y)=\langle 2x,\,2y\rangle.
  • Curva: qualquer curva C que vai de A=(0,0) a B=(1,1). Vou calcular pela reta C_1 que une diretamente os pontos (parametrização simples).
  • Parametrização da reta: \mathbf{r}(t)=(t,t), t\in[0,1].
  • Então \mathbf{r}'(t)=(1,1).
  • Avaliando o campo na curva: \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\langle 2t,\,2t\rangle.
  • Produto escalar:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,2t\rangle\cdot\langle1,1\rangle = 2t+2t=4t.
  • Integral:
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_0^1 4t\,dt = \left.2t^2\right|_0^1 = 2.
  • Verificação via função potencial: note que \varphi(x,y)=x^2+y^2 satisfaz \nabla\varphi=\langle 2x,2y\rangle=\mathbf{F}. Pelo teorema fundamental:
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(1,1)-\varphi(0,0)= (1^2+1^2)-0=2,
o mesmo resultado — independentemente do caminho entre A e B.

Passo 7

Exemplo 2 (campo não conservativo — circulação numa curva fechada).
  • Campo: \mathbf{F}(x,y)=\langle -y,\,x\rangle.
  • Curva: círculo unitário C orientado no sentido anti-horário (contrário ao relógio).
  • Parametrização do círculo: \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t), t\in[0,2\pi].
  • Derivada: \mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\cos t).
  • Avaliando o campo na curva:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\langle -\sin t,\cos t\rangle.
  • Produto escalar:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=\langle -\sin t,\cos t\rangle\cdot\langle -\sin t,\cos t\rangle = (-\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t)=\sin^2 t+\cos^2 t=1.
  • Integral:
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi.
  • Interpretação rápida: o trabalho (circulação) ao redor de todo o círculo vale 2\pi. Se a orientação fosse horária, o valor seria -2\pi.
  • Observação: porque a integral em um laço fechado é não nula, o campo não é conservativo numa região que contém esse laço.

Passo 8

Resumo prático com exemplos como “modelo de prova” (o que escrever rapidamente na sua folha)
  • Escreva a parametrização \mathbf{r}(t) e o intervalo.
  • Calcule \mathbf{r}'(t).
  • Substitua: \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t).
  • Integre.
  • Se perceber que \mathbf{F}=\nabla\varphi, simplesmente aplique \varphi(\text{final})-\varphi(\text{inicial}).

Passo 9

Dicas finais e encorajamento
  • Treine: faça alguns exercícios com campos simples e curvas retas, circulares e poligonais. Isso fixa a ideia de parametrização e do papel da orientação.
  • Lembre-se: na prova, o maior erro comum é esquecer o sinal quando invertem a orientação ou errar a derivada \mathbf{r}'(t). Vai com calma, passo a passo — você consegue!

Resposta

Definição: \displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt, onde \mathbf{r}(t) parametrize C.
Exemplo 1 (conservativo): para \mathbf{F}(x,y)=\langle 2x,2y\rangle de (0,0) a (1,1), \displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2.
Exemplo 2 (não conservativo): para \mathbf{F}(x,y)=\langle -y,x\rangle ao redor do círculo unitário no sentido anti-horário, \displaystyle \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2\pi.

Exercícios relacionados