Definir integral de linha de campo vetorial e dar pelo menos um exemplo (final da página 327 até a página 331);
Passo 1
O que o enunciado pede:
Definir o que é a integral de linha de um campo vetorial.
Fornecer pelo menos um exemplo (com cálculo passo a passo).
Informações relevantes dadas:
Não há figura nem dados adicionais: a tarefa é conceitual + exemplo(s).
Deve vir definição formal, interpretação e exemplos resolvidos.
Passo 2
Definição formal e notação (passo a passo, devagar).
Considere um campo vetorial \mathbf{F} definido numa região do plano (ou do espaço). Em duas dimensões escrevemos normalmente \mathbf{F}(x,y)=\langle P(x,y),\,Q(x,y)\rangle.
Considere uma curva orientada C no plano dada por uma parametrização contínua e diferenciável
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado nos pontos da curva; se \mathbf{F}=\langle P,Q\rangle então \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\langle P(x(t),y(t)),\,Q(x(t),y(t))\rangle.
\mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) é o vetor tangente à curva (velocidade da parametrização).
O produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) mede a componente do campo ao longo da direção da curva; integrando em t soma-se essa contribuição ao longo de todo o caminho.
Passo 3
Derivação intuitiva (por que essa definição faz sentido).
Divida a curva em pequenos segmentos \Delta \mathbf{r}_i. Em cada segmento o trabalho aproximado é \mathbf{F}(\mathbf{r}_i)\cdot\Delta\mathbf{r}_i.
Com a parametrização \Delta\mathbf{r}_i\approx \mathbf{r}'(t_i)\Delta t surge a fórmula integral em t.
Passo 4
Observações importantes que ajudam na prova (dicas e variações).
Orientação: trocar a orientação da curva muda o sinal da integral. Se C tem parametrização \mathbf{r}(t) em [a,b], a mesma curva com orientação inversa tem parametrização \mathbf{r}(a+b-t) e a integral muda de sinal.
Caso \mathbf{F}(x,y)=\nabla\varphi(x,y) (i.e., \mathbf{F} é gradiente de uma função potencial \varphi), então a integral depende só dos extremos e vale a versão para campos conservativos (Teorema fundamental das integrais de linha):
Se a integral for sobre uma curva fechada C (isto é, C começa e termina no mesmo ponto), e \mathbf{F} for conservativo numa região simplesmente conectada, então
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.
Existe também a integral de linha de uma função escalar ao longo de C:
Se perceber que \mathbf{F}=\nabla\varphi, simplesmente aplique \varphi(\text{final})-\varphi(\text{inicial}).
Passo 9
Dicas finais e encorajamento
Treine: faça alguns exercícios com campos simples e curvas retas, circulares e poligonais. Isso fixa a ideia de parametrização e do papel da orientação.
Lembre-se: na prova, o maior erro comum é esquecer o sinal quando invertem a orientação ou errar a derivada \mathbf{r}'(t). Vai com calma, passo a passo — você consegue!
Resposta
Definição: \displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt, onde \mathbf{r}(t) parametrize C.
Exemplo 1 (conservativo): para \mathbf{F}(x,y)=\langle 2x,2y\rangle de (0,0) a (1,1), \displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2.
Exemplo 2 (não conservativo): para \mathbf{F}(x,y)=\langle -y,x\rangle ao redor do círculo unitário no sentido anti-horário, \displaystyle \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2\pi.