Defininir integral de linha de campo escalar e dar pelo menos um exemplo (páginas 310-312);

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: definir a integral de linha de um campo escalar e apresentar pelo menos um exemplo. Não há outros dados numéricos fornecidos, então vou (1) explicar o que é essa integral e como ela surge, (2) dar a fórmula prática para cálculo e (3) resolver um exemplo passo a passo.

Passo 2

Intuição física e matemática (sem fórmulas ainda, só ideia). Imagine uma fita ou fio curvo C no plano ou no espaço. Em cada ponto desse fio existe uma densidade linear f (uma função escalar que diz “quanto há por unidade de comprimento” naquele ponto). A integral de linha do campo escalar ao longo de C soma essas contribuições locais multiplicadas pelo comprimento de cada pedacinho do fio: é a massa total da fita se f for densidade linear. A integral tem a forma "soma de f vezes pequeno comprimento \mathrm{d}s ao longo de C".

Passo 3

Derivação via soma de Riemann (para ver de onde vem a fórmula prática). Seja C uma curva suave parametrizada por \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^n, \mathbf{r}(t)=(x_1(t),\dots,x_n(t)). Particionamos o intervalo [a,b] em pontos t_0=a<t_1<\cdots<t_N=b. Em cada subintervalo [t_{i-1},t_i] escolhemos um ponto \xi_i e aproximamos o pedaço da curva por um segmento cujo comprimento é aproximadamente
\Delta s_i \approx \big\|\mathbf{r}'(\xi_i)\big\|\Delta t_i,
onde \Delta t_i=t_i-t_{i-1} e \|\cdot\| é a norma euclidiana. A contribuição de massa desse pedaço é aproximadamente f(\mathbf{r}(\xi_i))\Delta s_i. Somando e passando ao limite obtemos a integral de linha:
\int_C f\,\mathrm{d}s=\lim_{\max\Delta t_i\to0}\sum_{i=1}^N f(\mathbf{r}(\xi_i))\,\Delta s_i.

Passo 4

Fórmula prática e definição formal. Se f é contínua em C e C é parametrizada por \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^n de classe C^1, então a integral de linha do campo escalar f ao longo de C é
\int_C f\,\mathrm{d}s=\int_a^b f\big(\mathbf{r}(t)\big)\,\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,\mathrm{d}t.
Explicando cada símbolo:
  • f\big(\mathbf{r}(t)\big) é o valor do campo escalar no ponto da curva correspondente a t.
  • \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade \big(x_1'(t),\dots,x_n'(t)\big).
  • \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{(x_1'(t))^2+\cdots+(x_n'(t))^2} é a rapidez; multiplicando por \mathrm{d}t obtemos o elemento de comprimento infinitesimal \mathrm{d}s.
    Observações úteis: a integral não depende da orientação da parametrização (reverter t deixa \|\mathbf{r}'(t)\| e o resultado inalterados). O resultado é um número escalar (por exemplo, uma massa).

Passo 5

Receita prática para calcular uma integral de linha escalar.
  1. Parametrizar C por \mathbf{r}(t), t\in[a,b].
  2. Calcular \mathbf{r}'(t) e sua norma \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|.
  3. Substituir na fórmula \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\|\mathbf{r}'(t)\|\,\mathrm{d}t.
  4. Avaliar a integral impropriamente (se necessário), usando substituições usuais.

Passo 6

Escolha do exemplo (simples e resolvível analiticamente): curva C é o segmento de reta de (0,0) a (1,2). Campo escalar f(x,y)=x. Vou parametrizar o segmento de forma linear e calcular a integral passo a passo.

Passo 7

Parametrização e cálculo detalhado do exemplo.
  1. Parametrização: um parâmetro natural é t\in[0,1] com
\mathbf{r}(t)=\big(x(t),y(t)\big)=(t,2t).
Isso satisfaz \mathbf{r}(0)=(0,0) e \mathbf{r}(1)=(1,2).
2. Derivada e norma:
\mathbf{r}'(t)=(1,2),\qquad \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.
Nota: a norma é constante porque C é uma reta parametrizada uniformemente.
3. Composição do campo com a parametrização:
f\big(\mathbf{r}(t)\big)=x(t)=t.
  1. Integral segundo a fórmula:
\int_C f\,\mathrm{d}s=\int_0^1 f\big(\mathbf{r}(t)\big)\,\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t\cdot\sqrt{5}\,\mathrm{d}t.
  1. Cálculo final:
\int_0^1 t\sqrt{5}\,\mathrm{d}t=\sqrt{5}\int_0^1 t\,\mathrm{d}t =\sqrt{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Interpretação: se f(x,y)=x for a densidade linear ao longo do fio C, a massa total do fio é \dfrac{\sqrt{5}}{2}.

Passo 8

Resumo prático e dica para a prova. Sempre procure uma parametrização simples (reta: afim; curvas padrão: t\mapsto(t,t^2), círculos: t\mapsto(\cos t,\sin t)). Calcule \|\mathbf{r}'(t)\| com cuidado; muitas integrais ficam bem com uma substituição do tipo u=at^2+ b quando surgir uma raiz de polinômio quadrático. Respira fundo: a ideia é sempre “soma de f vezes comprimento”.

Resposta

Definição: \displaystyle \int_C f\,\mathrm{d}s=\int_a^b f\big(\mathbf{r}(t)\big)\,\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,\mathrm{d}t, onde \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^n é uma parametrização suave de C.
Exemplo (para C segmento de (0,0) a (1,2) e f(x,y)=x): \displaystyle \int_C f\,\mathrm{d}s=\frac{\sqrt{5}}{2}.

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