Determine os pontos críticos da função
onde
estão sujeitos ao vínculo
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função sujeita a um vínculo. Dados fornecidos:
- A função é
. - O vínculo (restrição) é
(a circunferência de raio 1).
O que se pede: determinar os pontossobre a curva onde tem extremos sujeitos a esse vínculo (ou seja, os pontos críticos na restrição).
Passo 2
Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática): quando queremos extremizar uma função
sob uma restrição
, a técnica clássica é multiplicadores de Lagrange. A justificativa intuitiva é a seguinte: no ponto de máximo ou mínimo sujeito à curva, a direção de maior variação de
(o gradiente de
) deve ser paralela à direção normal da curva (o gradiente de
); caso contrário seria possível mover-se ao longo da curva aumentando ou diminuindo
. Formalmente, procuramos
tal que
onde
(gradiente) é o vetor das derivadas parciais. Aqui:
-
, -
,
eé o multiplicador de Lagrange (uma constante que ajusta os vetores para ficarem paralelos).
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: tomamos a função de restrição
que satisfaz
quando estamos sobre a circunferência. Agora calculamos os gradientes (mostrando cada derivada):
Passo 4
Escrevendo a condição de Lagrange
e incluindo o vínculo
, obtemos o sistema de equações
As incógnitas são
,
e
.
Passo 5
Eliminando
: das duas primeiras equações obtemos expressões para
(quando
e
não são zero):
Igualando as duas expressões para
dá
Fazendo a multiplicação cruzada:
Portanto qualquer solução com
deve satisfazer
.
Passo 6
Substituindo
na restrição
, obtemos
Logo
E então
com o mesmo sinal de
. Assim surgem dois candidatos:
Passo 7
Verificação dos casos especiais
ou
: é importante checar se perdemos soluções quando dividimos por
ou por
.
- Se
, da primeira equação viria , o que é impossível. Portanto não produz solução. - Se
, da segunda equação viria , também impossível. Portanto não produz solução.
Logo não há outras soluções além das duas encontradas no passo anterior.
Passo 8
Classificação (máximo / mínimo) dos pontos críticos calculando os valores de
em cada um:
Calcule em :
Calcule em
Calcule em
:
Como
é maior que
, concluímos que
-
é o ponto de máximo relativo (e global sobre a circunferência) com valor . -
é o ponto de mínimo relativo (e global sobre a circunferência) com valor .
Passo 9
Interpretação geométrica rápida (intuição extra, curta): a função
é linear; seus níveis são retas. Sobre uma circunferência, uma linear atinge máximo e mínimo nos pontos da circunferência onde a direção radial coincide com a direção do vetor gradiente
. Isso corresponde exatamente aos pontos que encontramos (o ponto no sentido de
e o oposto).