Determine os pontos críticos da função
f(x, y)=8 x+y
onde (x, y) estão sujeitos ao vínculo x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função sujeita a um vínculo. Dados fornecidos:
  • A função é f(x,y)=8x+y.
  • O vínculo (restrição) é x^{2}+y^{2}=1 (a circunferência de raio 1).
    O que se pede: determinar os pontos (x,y) sobre a curva x^{2}+y^{2}=1 onde f tem extremos sujeitos a esse vínculo (ou seja, os pontos críticos na restrição).

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática): quando queremos extremizar uma função f(x,y) sob uma restrição g(x,y)=0, a técnica clássica é multiplicadores de Lagrange. A justificativa intuitiva é a seguinte: no ponto de máximo ou mínimo sujeito à curva, a direção de maior variação de f (o gradiente de f) deve ser paralela à direção normal da curva (o gradiente de g); caso contrário seria possível mover-se ao longo da curva aumentando ou diminuindo f. Formalmente, procuramos \lambda tal que
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y),
onde \nabla (gradiente) é o vetor das derivadas parciais. Aqui:
  • \nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right),
  • \nabla g(x,y)=\left(\dfrac{\partial g}{\partial x},\dfrac{\partial g}{\partial y}\right),
    e \lambda é o multiplicador de Lagrange (uma constante que ajusta os vetores para ficarem paralelos).

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: tomamos a função de restrição
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1,
que satisfaz g(x,y)=0 quando estamos sobre a circunferência. Agora calculamos os gradientes (mostrando cada derivada):
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(8x+y),\; \dfrac{\partial}{\partial y}(8x+y)\right)=(8,1),
\nabla g(x,y)=\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}-1),\; \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}-1)\right)=(2x,2y).

Passo 4

Escrevendo a condição de Lagrange \nabla f=\lambda\nabla g e incluindo o vínculo g(x,y)=0, obtemos o sistema de equações
8=\lambda\cdot 2x,
1=\lambda\cdot 2y,
x^{2}+y^{2}=1.
As incógnitas são x, y e \lambda.

Passo 5

Eliminando \lambda: das duas primeiras equações obtemos expressões para \lambda (quando x e y não são zero):
\lambda=\dfrac{8}{2x}=\dfrac{4}{x}, \qquad \lambda=\dfrac{1}{2y}.
Igualando as duas expressões para \lambda
\dfrac{4}{x}=\dfrac{1}{2y}.
Fazendo a multiplicação cruzada:
4\cdot 2y = x \quad\Rightarrow\quad 8y = x.
Portanto qualquer solução com x,y\neq 0 deve satisfazer x=8y.

Passo 6

Substituindo x=8y na restrição x^{2}+y^{2}=1, obtemos
(8y)^{2}+y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad 64y^{2}+y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad 65y^{2}=1.
Logo
y^{2}=\dfrac{1}{65}\quad\Rightarrow\quad y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{65}}.
E então
x=8y=\pm\dfrac{8}{\sqrt{65}},
com o mesmo sinal de y. Assim surgem dois candidatos:
\left(\dfrac{8}{\sqrt{65}},\dfrac{1}{\sqrt{65}}\right) \qquad\text{e}\qquad \left(-\dfrac{8}{\sqrt{65}},-\dfrac{1}{\sqrt{65}}\right).

Passo 7

Verificação dos casos especiais x=0 ou y=0: é importante checar se perdemos soluções quando dividimos por x ou por y.
  • Se x=0, da primeira equação 8=\lambda\cdot 2x viria 8=\lambda\cdot 0, o que é impossível. Portanto x=0 não produz solução.
  • Se y=0, da segunda equação 1=\lambda\cdot 2y viria 1=\lambda\cdot 0, também impossível. Portanto y=0 não produz solução.
    Logo não há outras soluções além das duas encontradas no passo anterior.

Passo 8

Classificação (máximo / mínimo) dos pontos críticos calculando os valores de f em cada um:
Calcule em \left(\dfrac{8}{\sqrt{65}},\dfrac{1}{\sqrt{65}}\right):
f\!\left(\dfrac{8}{\sqrt{65}},\dfrac{1}{\sqrt{65}}\right) =8\cdot\dfrac{8}{\sqrt{65}}+\dfrac{1}{\sqrt{65}} =\dfrac{64+1}{\sqrt{65}}=\dfrac{65}{\sqrt{65}}=\sqrt{65}.
Calcule em \left(-\dfrac{8}{\sqrt{65}},-\dfrac{1}{\sqrt{65}}\right):
f\!\left(-\dfrac{8}{\sqrt{65}},-\dfrac{1}{\sqrt{65}}\right) =8\cdot\left(-\dfrac{8}{\sqrt{65}}\right)+\left(-\dfrac{1}{\sqrt{65}}\right) =-\dfrac{65}{\sqrt{65}}=-\sqrt{65}.
Como \sqrt{65} é maior que -\sqrt{65}, concluímos que
  • \left(\dfrac{8}{\sqrt{65}},\dfrac{1}{\sqrt{65}}\right) é o ponto de máximo relativo (e global sobre a circunferência) com valor f=\sqrt{65}.
  • \left(-\dfrac{8}{\sqrt{65}},-\dfrac{1}{\sqrt{65}}\right) é o ponto de mínimo relativo (e global sobre a circunferência) com valor f=-\sqrt{65}.

Passo 9

Interpretação geométrica rápida (intuição extra, curta): a função f(x,y)=8x+y é linear; seus níveis são retas. Sobre uma circunferência, uma linear atinge máximo e mínimo nos pontos da circunferência onde a direção radial coincide com a direção do vetor gradiente \nabla f=(8,1). Isso corresponde exatamente aos pontos que encontramos (o ponto no sentido de (8,1) e o oposto).

Resposta

\left(\dfrac{8}{\sqrt{65}},\dfrac{1}{\sqrt{65}}\right) é o ponto de máximo (valor \sqrt{65}).
\left(-\dfrac{8}{\sqrt{65}},-\dfrac{1}{\sqrt{65}}\right) é o ponto de mínimo (valor -\sqrt{65}).

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