Definir Rotacional de uma função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definirmos o rotacional de uma função. Estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de rotacional (também conhecido como curl em inglês). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é o rotacional. Imagine que você tem um campo vetorial, que basicamente é como se fosse um mapa onde em cada ponto tem uma seta indicando direção e magnitude. O rotacional nos diz quão “girando” esse campo está em torno de um ponto específico. Se o rotacional for zero naquele ponto, significa que não há rotação ali.

Passo 3

O rotacional é representado pelo símbolo ∇ × F, onde (nabla) é um operador vetorial que envolve derivadas parciais, e F é o campo vetorial que estamos analisando. O operador nabla em coordenadas cartesianas é definido assim:
nabla = ( partialpartial x, partialpartial y, partialpartial z )

Passo 4

Agora, para calcular o rotacional de um campo vetorial F = (Fₓ, Fᵧ, F_z), fazemos o produto vetorial de com F. Isso resulta em:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )

Resposta

O rotacional de uma função vetorial F = (Fₓ, Fᵧ, F_z) é definido por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Isso nos dá uma nova função vetorial que descreve a tendência de rotação do campo F em cada ponto do espaço.

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