As deformações principais em um ponto sobre a superficie de alumínio de um tanque são varepsilon1=Q cdot 10^-6, varepsilon2=R cdot 10^-6. Se for um caso de estado plano de tensão, determine as tensões principais associadas no ponto no mesmo plano. E21=70 GPa, Val=0,33.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem as deformações principais em um ponto na superfície de um tanque de alumínio:
varepsilon1 = Q times 10^-6, varepsilon2 = R times 10^-6
A questão está no contexto de estado plano de tensão, ou seja, as tensões no terceiro eixo são zero. Precisamos descobrir as tensões principais sigma1 e sigma2 nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos usar a teoria de deformações e tensões em materiais elásticos, especificamente as relações entre deformação e tensão usando o módulo de elasticidade E e o coeficiente de Poisson V.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em estado plano de tensão, as relações entre as deformações principais e as tensões principais são dadas pelas leis de Hooke para um material isotrópico. As fórmulas são:
varepsilon1 = 1E ( sigma1 - nu sigma2 )
varepsilon2 = 1E ( sigma2 - nu sigma1 )
Aqui, E é o módulo de elasticidade e nu é o coeficiente de Poisson.

Passo 3

Vamos organizar essas equações para facilitar a resolução. Multiplicando ambos os lados por E, temos:
E varepsilon1 = sigma1 - nu sigma2
E varepsilon2 = sigma2 - nu sigma1
Agora, podemos escrever isso em forma de sistema de equações lineares:
sigma1 - nu sigma2 = E varepsilon1 -nu sigma1 + sigma2 = E varepsilon2

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar sigma1 e sigma2. Podemos usar o método de substituição ou o método de adição. Vamos optar pelo método de adição.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por nu:
nu sigma1 - nu^2 sigma2 = nu E varepsilon1
Agora, vamos somar essa equação com a segunda equação do sistema:
(nu sigma1 - nu^2 sigma2) + (-nu sigma1 + sigma2) = nu E varepsilon1 + E varepsilon2
Simplificando:
sigma2 (1 - nu^2) = nu E varepsilon1 + E varepsilon2
Então, isolando sigma2:
sigma2 = nu E varepsilon1 + E varepsilon21 - nu^2

Passo 5

Agora que temos sigma2, podemos substituir esse valor na primeira equação original para encontrar sigma1:
sigma1 = E varepsilon1 + nu sigma2
Substituindo sigma2:
sigma1 = E varepsilon1 + nu ( nu E varepsilon1 + E varepsilon21 - nu^2 )
Simplificando:
sigma1 = E varepsilon1 (1 - nu^2) + nu (nu E varepsilon1 + E varepsilon2)1 - nu^2
sigma1 = E varepsilon1 - E varepsilon1 nu^2 + E varepsilon1 nu^2 + nu E varepsilon21 - nu^2
sigma1 = E varepsilon1 + nu E varepsilon21 - nu^2

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores dados na questão. Temos:
E = 70 , GPa, nu = 0,33
varepsilon1 = Q times 10^-6, varepsilon2 = R times 10^-6
Substituindo na fórmula de sigma1:
sigma1 = 70 times 10^9 times Q times 10^-6 + 0,33 times 70 times 10^9 times R times 10^-61 - (0,33)^2
Simplificando os termos:
sigma1 = 70 times Q times 10^3 + 0,33 times 70 times R times 10^31 - 0,1089
sigma1 = 70 Q times 10^3 + 23,1 R times 10^30,8911
sigma1 = 70Q + 23,1R0,8911 times 10^3 , Pa
Convertendo para GPa:
sigma1 = 70Q + 23,1R0,8911 times 10^0 , GPa
Fazendo os cálculos numéricos:
sigma1 approx 70Q + 23,1R0,8911 , GPa

Resposta

As tensões principais no ponto são aproximadamente:
sigma1 approx 70Q + 23,1R0,8911 , GPa e sigma2 approx 0,33 times 70 Q + 70 R1 - 0,33^2 , GPa

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