As deformações principais em um ponto sobre a superficie de alumínio de um tanque são
. Se for um caso de estado plano de tensão, determine as tensões principais associadas no ponto no mesmo plano.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem as deformações principais em um ponto na superfície de um tanque de alumínio:
A questão está no contexto de estado plano de tensão, ou seja, as tensões no terceiro eixo são zero. Precisamos descobrir as tensões principais
e
nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos usar a teoria de deformações e tensões em materiais elásticos, especificamente as relações entre deformação e tensão usando o módulo de elasticidade
e o coeficiente de Poisson
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em estado plano de tensão, as relações entre as deformações principais e as tensões principais são dadas pelas leis de Hooke para um material isotrópico. As fórmulas são:
Aqui,
é o módulo de elasticidade e
é o coeficiente de Poisson.
Passo 3
Vamos organizar essas equações para facilitar a resolução. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, podemos escrever isso em forma de sistema de equações lineares:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
. Podemos usar o método de substituição ou o método de adição. Vamos optar pelo método de adição.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por
:
Agora, vamos somar essa equação com a segunda equação do sistema:
Simplificando:
Então, isolando
:
Passo 5
Agora que temos
, podemos substituir esse valor na primeira equação original para encontrar
:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores dados na questão. Temos:
Substituindo na fórmula de
:
Simplificando os termos:
Convertendo para GPa:
Fazendo os cálculos numéricos:
Resposta
As tensões principais no ponto são aproximadamente: