Determine \mathbf{a}+\mathbf{b}, 2 \mathbf{a}+3 \mathbf{b},|\mathbf{a}| e |\mathbf{a}-\mathbf{b}|.
\mathbf{a}=\langle 5,-12\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle-3,-6\rangle

Passo 1

O enunciado dá as duas componentes dos vetores e pede quatro coisas. Informação dada:
\mathbf{a}=\langle 5,-12\rangle e \mathbf{b}=\langle -3,-6\rangle.
Perguntas que devemos responder:
  • Calcular \mathbf{a}+\mathbf{b}.
  • Calcular 2\mathbf{a}+3\mathbf{b}.
  • Calcular |\mathbf{a}|.
  • Calcular |\mathbf{a}-\mathbf{b}|.

Passo 2

Como somar vetores (regra e ideia): para somar dois vetores em coordenadas cartesianas, somamos as componentes correspondentes. Se \mathbf{u}=\langle u_x,u_y\rangle e \mathbf{v}=\langle v_x,v_y\rangle, então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=\langle u_x+v_x,\;u_y+v_y\rangle.
Aplicando isso a \mathbf{a}+\mathbf{b}:
\mathbf{a}+\mathbf{b}=\langle 5+(-3),\;-12+(-6)\rangle=\langle 2,\;-18\rangle.
Interpretação rápida: somamos componente x com x e y com y. Fácil de checar no papel.

Passo 3

Multiplicação por escalar e combinação linear (regra): multiplicar um vetor por um número escala cada componente. Se c é escalar e \mathbf{u}=\langle u_x,u_y\rangle, então
c\mathbf{u}=\langle c\,u_x,\;c\,u_y\rangle.
Queremos 2\mathbf{a}+3\mathbf{b}. Primeiro calcule 2\mathbf{a} e 3\mathbf{b} separadamente:
2\mathbf{a}=2\langle 5,-12\rangle=\langle 10,-24\rangle,
3\mathbf{b}=3\langle -3,-6\rangle=\langle -9,-18\rangle.
Agora somamos esses dois vetores:
2\mathbf{a}+3\mathbf{b}=\langle 10+(-9),\;-24+(-18)\rangle=\langle 1,\;-42\rangle.

Passo 4

Magnitude (norma) de um vetor e fórmula: para \mathbf{u}=\langle u_x,u_y\rangle, a norma é dada por
|\mathbf{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2},
que vem do Teorema de Pitágoras (a norma é a distância da origem ao ponto (u_x,u_y)). Aplicando a \mathbf{a}:
|\mathbf{a}|=\sqrt{5^2+(-12)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.
Dica de prova: reconhecer a tupla (5,12,13) como um triplo pitagórico ajuda — é comum em provas.

Passo 5

Subtração de vetores (regra e cálculo): a subtração \mathbf{a}-\mathbf{b} é igual a \mathbf{a}+(-1)\mathbf{b}. Em componentes:
\mathbf{a}-\mathbf{b}=\langle 5-(-3),\;-12-(-6)\rangle=\langle 8,\;-6\rangle.

Passo 6

Norma de \mathbf{a}-\mathbf{b}: aplicamos a mesma fórmula da norma ao vetor \mathbf{a}-\mathbf{b}=\langle 8,-6\rangle:
|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{8^2+(-6)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.
Observação: (6,8,10) também é um triplo pitagórico (ou seja, 10 é hipotenusa de um triângulo 6- 8- 10).

Passo 7

Resumo rápido e checagem mental: verifique que cada operação foi feita componente a componente e que as normas foram calculadas somando os quadrados das componentes e tirando raiz quadrada. Você pode refazer os somatórios e multiplicações no caderno para confirmar — está tudo correto.

Resposta

\mathbf{a}+\mathbf{b}=\langle 2,-18\rangle
2\mathbf{a}+3\mathbf{b}=\langle 1,-42\rangle
|\mathbf{a}|=13
|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=10

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