7- A degradação aeróbia de um composto orgânico por uma cultura mista de bactérias em efluente pode ser representada pela seguinte equação geral:
\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O}_{3}+a \mathrm{O}_{2}+b \mathrm{NH}_{3} \rightarrow c \mathrm{C}_{5} \mathrm{H}_{7} \mathrm{NO}_{2}+d \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}+e \mathrm{CO}_{2}
a) Determine a, b, c, d, e se Y_{X / S}=0,4 \mathrm{~g} \mathrm{X} / \mathrm{gS};
b) Determine os coeficientes de rendimento Y_{X / O 2} e Y_{X / N H 3};
c) Determine os graus de redução para o substrato, células e o RQ dos microrganismos.

Passo 1

O enunciado dá a equação estequiométrica da degradação aeróbia por cultura mista:
\mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{6}\mathrm{O}_{3}+a\mathrm{O}_{2}+b\mathrm{NH}_{3}\rightarrow c\mathrm{C}_{5}\mathrm{H}_{7}\mathrm{NO}_{2}+d\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}+e\mathrm{CO}_{2}
e pede:
  • (a) determinar a,b,c,d,e sabendo que o rendimento \;Y_{X/S}=0,4\\ \mathrm{g\\ X/g\\ S};
  • (b) determinar os coeficientes de rendimento Y_{X/O_2} e Y_{X/NH_3};
  • (c) determinar os graus de redução do substrato e das células e o RQ dos microrganismos.
Informações fornecidas e relevantes:
  • Fórmulas: substrato \mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{6}\mathrm{O}_{3} e biomassa \mathrm{C}_{5}\mathrm{H}_{7}\mathrm{NO}_{2}.
  • Rendimento massa-por-massa: \;Y_{X/S}=0{,}4\\ \mathrm{g\\ X/g\\ S}.
  • Vamos trabalhar por mol de substrato consumido (ou seja, equacionar considerando 1 mol de \mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{6}\mathrm{O}_{3} como base).

Passo 2

Calcular massas molares (usando C=12, H=1, O=16, N=14; explicar a ideia: massa molar é soma das massas atômicas dos átomos da fórmula).
  • Massa molar do substrato \mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{6}\mathrm{O}_{3}:
M_S = 3\cdot12 + 6\cdot1 + 3\cdot16 = 36 + 6 + 48 = 90\\ \mathrm{g/mol}.
  • Massa molar da biomassa \mathrm{C}_{5}\mathrm{H}_{7}\mathrm{NO}_{2}:
M_X = 5\cdot12 + 7\cdot1 + 1\cdot14 + 2\cdot16 = 60 + 7 + 14 + 32 = 113\\ \mathrm{g/mol}.

Passo 3

Relacionar o rendimento Y_{X/S} com o coeficiente estequiométrico c.
  • Definição usada: para 1 mol de substrato consumido produzimos c mol de biomassa; portanto a massa de biomassa produzida por mol de substrato é c\cdot M_X e a massa de substrato consumida por mol de substrato é 1\cdot M_S. Logo
Y_{X/S}=\frac{c\cdot M_X}{1\cdot M_S}.
  • Substituindo Y_{X/S}=0{,}4, M_X=113 e M_S=90, obtemos
0{,}4=\frac{c\cdot113}{90}\quad\Rightarrow\quad c=\frac{0{,}4\cdot90}{113}=\frac{36}{113}\approx0{,}3186.
Comentário prático: isso significa que, para cada mol de substrato consumido, formam-se \dfrac{36}{113} mol de biomassa.

Passo 4

Escrever balanços atômicos (C, H, N, O) por mol de substrato e resolver para a,b,d,e em função de c. (Explico por que: conserva-se número de átomos de cada elemento.)
  • Balanço de carbono:
\text{C:}\quad 3 = 5c + e \quad\Rightarrow\quad e = 3 - 5c.
  • Balanço de nitrogênio:
\text{N:}\quad b = c \quad\text{(pois cada NH}_3\text{ tem 1 N e cada biomassa tem 1 N)}.
  • Balanço de hidrogênio:
\text{H:}\quad 6 + 3b = 7c + 2d.
Substituindo b=c:
6 + 3c = 7c + 2d \quad\Rightarrow\quad 2d = 6 - 4c \quad\Rightarrow\quad d = 3 - 2c.
  • Balanço de oxigênio:
\text{O:}\quad 3 + 2a = 2c + d + 2e.
Substituir d e e em função de c:
3 + 2a = 2c + (3 - 2c) + 2(3 - 5c) = 9 - 10c.
Logo
2a = 6 - 10c \quad\Rightarrow\quad a = 3 - 5c.
Portanto, todos os coeficientes em função de c são:
b=c,\quad d=3-2c,\quad e=3-5c,\quad a=3-5c.

Passo 5

Substituir o valor de c=\dfrac{36}{113} e calcular numericamente todos os coeficientes. Para deixar exato, também apresento as formas fracionárias quando possível.
  • c=\dfrac{36}{113}\approx0{,}318584.
  • b=c=\dfrac{36}{113}\approx0{,}318584.
  • a=3-5c=3-5\cdot\dfrac{36}{113}= \dfrac{159}{113}\approx1{,}407080.
  • e=3-5c=\dfrac{159}{113}\approx1{,}407080 (mesmo valor de a).
  • d=3-2c=3-2\cdot\dfrac{36}{113}=\dfrac{267}{113}\approx2{,}362832.
Observação: notei que a e e ficaram iguais; isso decorre da estequiometria quando o grau de redução do substrato e da biomassa são compatíveis (veremos isso no item (c)).

Passo 6

Calcular os coeficientes de rendimento pedidos.
Definições e método:
  • Y_{X/O_2} é massa de biomassa formada por massa de \mathrm{O}_2 consumida, por mol de substrato:
Y_{X/O_2}=\frac{c\cdot M_X}{a\cdot M_{O_2}}.
  • Y_{X/NH_3} é massa de biomassa formada por massa de \mathrm{NH}_3 consumida:
Y_{X/NH_3}=\frac{c\cdot M_X}{b\cdot M_{NH_3}}.
Cálculos:
  • Como c\cdot M_X = \dfrac{36}{113}\cdot113 =36\\ \mathrm{g\\ X} por mol de substrato (isso simplifica muito).
  • Massa molar \mathrm{O}_2: M_{O_2}=32\\ \mathrm{g/mol}. Portanto
Y_{X/O_2}=\frac{36}{a\cdot32}=\frac{36}{\tfrac{159}{113}\cdot32}=\frac{36\cdot113}{159\cdot32}=\frac{339}{424}\approx0{,}79906\\ \mathrm{g\\ X/g\\ O_2}.
  • Massa molar \mathrm{NH}_3: M_{NH_3}=17\\ \mathrm{g/mol}. Como b=c, o c cancela:
Y_{X/NH_3}=\frac{c\cdot113}{c\cdot17}=\frac{113}{17}\approx6{,}64706\\ \mathrm{g\\ X/g\\ NH_3}.

Passo 7

Calcular os graus de redução (explicar o conceito e a fórmula de forma didática).
Conceito e fórmula:
  • O “grau de redução” total (também chamado de equivalentes de elétrons) de uma fórmula \mathrm{C}_x\mathrm{H}_y\mathrm{O}_z\mathrm{N}_w é dado por
Z = 4x + y - 2z - 3w,
que representa a soma de equivalentes de elétrons fornecidos pelos átomos (o coeficiente 4 para C porque cada C tem potencial de doar 4 elétrons, etc.). Muitas vezes se usa o grau de redução por átomo de carbono:
\gamma = \frac{Z}{x}.
Calculemos para substrato e biomassa.
Substrato \mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{6}\mathrm{O}_{3} ( x=3,y=6,z=3,w=0):
Z_S = 4\cdot3 + 6 - 2\cdot3 - 3\cdot0 = 12 + 6 - 6 = 12.
Grau de redução por carbono:
\gamma_S = \frac{Z_S}{3} = \frac{12}{3} = 4.
Biomassa \mathrm{C}_{5}\mathrm{H}_{7}\mathrm{NO}_{2} ( x=5,y=7,z=2,w=1):
Z_X = 4\cdot5 + 7 - 2\cdot2 - 3\cdot1 = 20 + 7 - 4 - 3 = 20.
Grau de redução por carbono:
\gamma_X = \frac{Z_X}{5} = \frac{20}{5} = 4.
Conclusão: o grau de redução por carbono do substrato e da biomassa é o mesmo: \gamma_S=\gamma_X=4. Isso explica por que parte do oxigênio consumido é usada só para equilíbrio estequiométrico de carbono e por que a e e ficaram iguais no balanço.

Passo 8

Calcular o RQ (respiratory quotient) e relacionar com os graus de redução.
Definição:
  • RQ é a razão entre mols de \mathrm{CO}_2 produzidos e mols de \mathrm{O}_2 consumidos:
RQ=\frac{\text{mol CO}_2}{\text{mol O}_2}=\frac{e}{a}.
Pelo item anterior temos e=a (ambos iguais a \dfrac{159}{113}), logo
RQ=\frac{e}{a}=1.
Interpretação curta: se o grau de redução por carbono do substrato é igual ao da biomassa, o RQ tende a 1 para a fração convertida em biomassa/esqueleto e respiração neste balanço particular.

Resposta

(a) a=\dfrac{159}{113}\approx1{,}40708,\quad b=\dfrac{36}{113}\approx0{,}31858,\quad c=\dfrac{36}{113}\approx0{,}31858,\quad d=\dfrac{267}{113}\approx2{,}36283,\quad e=\dfrac{159}{113}\approx1{,}40708
(b) Y_{X/O_2}=\dfrac{339}{424}\approx0{,}79906\\ \mathrm{g\\ X/g\\ O_2},\quad Y_{X/NH_3}=\dfrac{113}{17}\approx6{,}64706\\ \mathrm{g\\ X/g\\ NH_3}
(c) Grau de redução total e por C: substrato Z_S=12\Rightarrow\gamma_S=4; biomassa Z_X=20\Rightarrow\gamma_X=4. RQ=1

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