(Degroot, ex. 2, pag 132) Considere o vetor aleatório (
) com função densidade de probabilidade dada por
Determine:
(b)
;
(b)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma variável contínua conjunta
com densidade
para
e
, zero caso contrário.
O conteúdo aqui é: distribuição conjunta contínua, normalização de densidade e cálculo de probabilidade via integração dupla.
Para resolver vamos:
O conteúdo aqui é: distribuição conjunta contínua, normalização de densidade e cálculo de probabilidade via integração dupla.
Para resolver vamos:
- descobrir
garantindo que toda a massa some 1; - integrar
sobre a região dentro do retângulo .
Passo 2
Normalização da densidade:
Como , temos
Como , temos
Logo
Passo 3
Agora queremos
No retângulo
, a condição
só ocorre quando
(porque se
então
).
Então a região é
Então a região é
Passo 4
Basta montar e calcular a dupla integral:
Primeiro o interno:
Então
Calcule
trocando
: vai dar
.
E .
Então
E
Então
e