(Degroot, ex. 2, pag 132) Considere o vetor aleatório ( X, Y ) com função densidade de probabilidade dada por
fX Y(x, y)=ll k y^2, & 0
Determine:
(b) P(X+Y>2);

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável contínua conjunta com densidade
para e , zero caso contrário.
O conteúdo aqui é: distribuição conjunta contínua, normalização de densidade e cálculo de probabilidade via integração dupla.
Para resolver vamos:
  1. descobrir garantindo que toda a massa some 1;
  2. integrar sobre a região dentro do retângulo .

Passo 2

Normalização da densidade:
Como , temos
integralx=0^2!integraly=0^1 k,y^2,dy,dx = k;gl(integral0^2 dxgr);gl(integral0^1 y^2 dygr) = kcdot 2cdot13 =1
Logo
k=32

Passo 3

Agora queremos
P(X+Y>2) =integral duplax+y>2 fXY(x,y),dx,dy =integral duplasubstack02 32,y^2,dx,dy
No retângulo 1<= x<=2, 2-x<= y<=1 , a condição só ocorre quando (porque se então ).
Então a região é

Passo 4

Basta montar e calcular a dupla integral:
P(X+Y>2) =integralx=1^2 !integraly=2-x^1 32,y^2,dy,dx
Primeiro o interno:
integraly=2-x^1 y^2,dy =l[tfracy^33r]2-x^1 =1-(2-x)^33
Então
P(X+Y>2) =32integral1^21-(2-x)^33,dx =12integral1^2l[1-(2-x)^3r]dx
Calcule integral1^2l[1-(2-x)^3r]dx =1-tfrac14=tfrac34, trocando P(X+Y>2)=12cdot34=38 : vai dar .
E .
Então
e

Resposta

boxedP(X+Y>2)=38

Exercícios relacionados