(Degroot, ex. 7, pag 125) Suponha que
e
são v.a.s. tais que o vetor aleatório
pertença ao retângulo contendo todos os pontos
e
para os quais
e
. Suponha também que a distribuição acumulada conjunta de
e
em qualquer ponto
no retângulo seja especificada por:
Determine:
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, a questão tá em Probabilidade, mais precisamente em variáveis contínuas bivariadas. A gente tem um par
que vive dentro do retângulo
,
, e a função de distribuição conjunta (CDF)
O que a gente quer é a probabilidade
Para isso, vamos precisar:
- Derivar a CDF para achar a densidade conjunta
. - Integrar
sobre a região .
Passo 2
Primeiro vamos achar a densidade conjunta
pela regra
Começamos derivando
em relação a
:
Então
Agora derivamos isso em relação a
:
Passo 3
Derivada em
:
Logo
Passo 4
Agora montamos a integral para
. Como
só vai até 3 e
até 4, mas queremos
, a região é
Assim
Passo 5
Calculando a integral interna em
:
Então
Agora a integral em
:
Somando:
Logo