(Degroot, ex. 7, pag 125) Suponha que X e Y são v.a.s. tais que o vetor aleatório (X, Y) pertença ao retângulo contendo todos os pontos x e y para os quais 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= 4. Suponha também que a distribuição acumulada conjunta de X e Y em qualquer ponto (x, y) no retângulo seja especificada por:
FX Y(x, y)=1156 x y(x^2+y)
Determine:
(f) P(Y <= X).

Passo 1

Beleza, a questão tá em Probabilidade, mais precisamente em variáveis contínuas bivariadas. A gente tem um par (X,Y) que vive dentro do retângulo 0<= x<=3, 0<= y<=4, e a função de distribuição conjunta (CDF)
FXY(x,y)=1156,x,y,(x^2+y)
O que a gente quer é a probabilidade
P(Y<= X)
Para isso, vamos precisar:
  1. Derivar a CDF para achar a densidade conjunta fXY(x,y).
  2. Integrar fXY(x,y) sobre a região (x,y):0<= y<= x,;0<= x<=3.

Passo 2

Primeiro vamos achar a densidade conjunta fXY(x,y) pela regra
fXY(x,y)=partial^2partial x,partial y,FXY(x,y)
Começamos derivando FXY(x,y) em relação a x:
partialpartial xl[x,y,(x^2+y)r] = y;ddx(x^3 + x,y) = y,(3x^2 + y)
Então
partial FXYpartial x =1156,y,(3x^2+y)
Agora derivamos isso em relação a y:

Passo 3

Derivada em y:
partialpartial yl[y,(3x^2+y)r] =3x^2 + y + ycdot1 =3x^2+2y
Logo
fXY(x,y) =1156,(3x^2+2y), 0<= x<=3,;0<= y<=4

Passo 4

Agora montamos a integral para P(Y<= X). Como x só vai até 3 e y até 4, mas queremos y<= x, a região é
0<= x<=3, 0<= y<= x
Assim
P(Y<= X) =integralx=0^3integraly=0^xfXY(x,y),dy,dx =1156integral0^3integral0^x(3x^2+2y),dy,dx

Passo 5

Calculando a integral interna em y:
integral0^x(3x^2+2y),dy =3x^2cdot x + 2cdotx^22 =3x^3 + x^2 = x^2(3x+1)
Então
P(Y<= X) =1156integral0^3x^2(3x+1),dx =1156integral0^3(3x^3+x^2),dx
Agora a integral em x:
integral0^33x^3,dx =3cdot3^44=2434, integral0^3x^2,dx=3^33=9
Somando:
integral0^3(3x^3+x^2),dx =2434+9 =243+364 =2794
Logo
P(Y<= X) =1156cdot2794 =279624 =93208approx0,4471

Resposta

P(Y<= X)=93208approx0,4471

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