(Degroot, ex. 1, pag 123) Suponha que um dispositivo elétrico tenha 3 lâmpadas na primeira linha e 4 lâmpadas na segunda linha. Seja X o número de lâmpadas na primeira linha que permaneçam desligadas em dado momento t, e seja Y o número de lâmpadas na segunda linha que permaneçam desligadas nesse mesmo tempo. Suponha que a função de probabilidade conjunta de X e Y seja como aparece na tabela abaixo:
Y
0 1 2 3 4
0 0,08 0,07 0,06 0,01 0,01
1 0,06 0,10 0,12 0,05 0,02
2 0,05 0,06 0,09 0,04 0,03
3 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04
Determine cada uma das seguintes probabilidades:
(a) P(X=2);

Passo 1

Beleza, o exercício é o seguinte: temos duas linhas de lâmpadas num aparelho, 3 lâmpadas na primeira linha (que chamamos de X desligadas em certo instante) e 4 lâmpadas na segunda linha (que chamamos de Y desligadas). A tabela dada dá a probabilidade conjunta . A questão (a) pede a probabilidade de exatamente 2 lâmpadas da primeira linha estarem desligadas, i.e. .
Conteúdo: probabilidade de variáveis discretas, distribuição conjunta e como obter a distribuição marginal somando sobre a outra variável.

Passo 2

Para achar P(X=x) ;=;sumy P(X=x,,Y=y) , a gente usa a ideia de distribuição marginal. A fórmula geral é:
Ou seja, somamos todas as probabilidades conjuntas onde , variando por todos os valores possíveis (aqui ).

Passo 3

Agora é só somar os valores da tabela correspondentes a P(X=2) =0,07 + 0,10 + 0,06 + 0,03 :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Então

Resposta

P(X=2) = 0,26

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