(Degroot, ex. 4, pag 124) Suponha que a densidade conjunta das v.a.s X e Y seja:
fX Y(x, y)=l k(x^2+y), 0 <= y <= 1-x^2, 0, cc
Determine:
(b) P(0;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. Temos duas v.a.’s fXY(x,y)= k,(x^2+y),&0<= y<= 1-x^2, 0,&caso contrário e com densidade conjunta
á
O que queremos é .
Conteúdo: densidade conjunta, constante de normalização e probabilidade marginal.
O que vamos precisar:
  1. Encontrar usando a condição .
  2. Calcular a probabilidade integrando sobre e .

Passo 2

Primeiro a gente acha integralx=-1^1integraly=0^1-x^2k,(x^2+y),dy,dx=1 . A densidade tem que integrar 1 em todo domínio:
integral0^1-x^2(x^2+y),dy = x^2(1-x^2)+(1-x^2)^22 =12l(1-x^4r)
Inner integral em kintegral-1^112(1-x^4),dx=1 ;Longrightarrow; kcdot12l[integral-1^11,dx-integral-1^1x^4,dxr]=1 :
kcdot12l(2-tfrac25r) =kcdot12cdot85 =4k5=1 Longrightarrow k=54
Então
Sabendo que e , vem

Passo 3

Agora sim, integralx=0^1/2integraly=0^1-x^254,(x^2+y),dy,dx é
P =integral0^1/254cdot12(1-x^4),dx =58integral0^1/2(1-x^4),dx
Já sabemos que integral0^1/2(1-x^4),dx =l[x-tfracx^55r]0^1/2 =12-(1/2)^55 =12-1160 =79160 , então
P =58cdot79160 =3951280 =79256
Integramos em :
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Resposta

Pl(0

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