(Degroot, ex. 7, pag 125) Suponha que
e
são v.a.s. tais que o vetor aleatório
pertença ao retângulo contendo todos os pontos
e
para os quais
e
. Suponha também que a distribuição acumulada conjunta de
e
em qualquer ponto
no retângulo seja especificada por:
Determine:
(b)
e
;
(b)
Passo 1
Beleza, o exercício diz o seguinte: temos duas variáveis aleatórias X e Y que só variam dentro do retângulo
0 ≤ X ≤ 3 e 0 ≤ Y ≤ 4. A função que dá a probabilidade acumulada conjunta (CDF) é
0 ≤ X ≤ 3 e 0 ≤ Y ≤ 4. A função que dá a probabilidade acumulada conjunta (CDF) é
O que a gente quer é
Isso é um problema de probabilidade conjunta e a gente vai usar a fórmula que relaciona CDF com probabilidade em um retângulo, mais umas contas de álgebra.
Passo 2
Como X só vai até 3, falar “X≤4” é o mesmo que “X≤3”. Então em vez de P(2≤X≤4,2≤Y≤4) a gente faz
Em variáveis contínuas vale a fórmula (inclusão-exclusão com a CDF):
Passo 3
Aqui a, b, c, d são a=2, b=3, c=2, d=4. Então
Agora é só calcular cada um usando
Passo 4
Vamos aos valores:
-
. -
. -
. -
.
Passo 5
Agora junta tudo:
Para somar, põe tudo sobre 78 (o mínimo múltiplo):
Então