(Degroot, ex. 7, pag 125) Suponha que X e Y são v.a.s. tais que o vetor aleatório (X, Y) pertença ao retângulo contendo todos os pontos x e y para os quais 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= 4. Suponha também que a distribuição acumulada conjunta de X e Y em qualquer ponto (x, y) no retângulo seja especificada por:
FX Y(x, y)=1156 x y(x^2+y)
Determine:
(b) P(2 <= X <= 4 e 2 <= Y <= 4);

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: temos duas variáveis aleatórias X e Y que só variam dentro do retângulo
0 ≤ X ≤ 3 e 0 ≤ Y ≤ 4. A função que dá a probabilidade acumulada conjunta (CDF) é
FXY(x,y)=1156,x,y,(x^2+y),
O que a gente quer é
P(2<= X<= 4,;;2<= Y<= 4),
Isso é um problema de probabilidade conjunta e a gente vai usar a fórmula que relaciona CDF com probabilidade em um retângulo, mais umas contas de álgebra.

Passo 2

Como X só vai até 3, falar “X≤4” é o mesmo que “X≤3”. Então em vez de P(2≤X≤4,2≤Y≤4) a gente faz
P(2<= X<= 3,;2<= Y<= 4),
Em variáveis contínuas vale a fórmula (inclusão-exclusão com a CDF):
P(a<= X<= b,;c<= Y<= d)=F(b,d);-;F(a,d);-;F(b,c);+;F(a,c),

Passo 3

Aqui a, b, c, d são a=2, b=3, c=2, d=4. Então
P(2<= X<=3,;2<= Y<=4)=F(3,4)-F(2,4)-F(3,2)+F(2,2),
Agora é só calcular cada um usando
F(x,y)=1156xy(x^2+y),

Passo 4

Vamos aos valores:
  1. .
  2. .
  3. .
  4. .

Passo 5

Agora junta tudo:
P=;1;-;1639;-;1126;+;213,
Para somar, põe tudo sobre 78 (o mínimo múltiplo):
1=7878, 1639=3278, 1126=3378, 213=1278
Então
P=78-32-33+1278=2578,

Resposta

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