(Degroot, ex. 1, pag 123) Suponha que um dispositivo elétrico tenha 3 lâmpadas na primeira linha e 4 lâmpadas na segunda linha. Seja X o número de lâmpadas na primeira linha que permaneçam desligadas em dado momento
, e seja Y o número de lâmpadas na segunda linha que permaneçam desligadas nesse mesmo tempo. Suponha que a função de probabilidade conjunta de X e Y seja como aparece na tabela abaixo:
|
||||||
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||
0 | 0,08 | 0,07 | 0,06 | 0,01 | 0,01 | |
1 | 0,06 | 0,10 | 0,12 | 0,05 | 0,02 | |
2 | 0,05 | 0,06 | 0,09 | 0,04 | 0,03 | |
3 | 0,02 | 0,03 | 0,03 | 0,03 | 0,04 |
Determine cada uma das seguintes probabilidades:
(b) ;
(b)
Passo 1
Beleza, o exercício é o seguinte: temos um dispositivo com 3 lâmpadas na primeira linha e 4 na segunda. Definimos
- X = número de lâmpadas desligadas na primeira linha (vai de 0 a 3)
- Y = número de lâmpadas desligadas na segunda linha (vai de 0 a 4)
A função de probabilidade conjunta
está dada na tabela. O que a gente precisa aqui é achar
ou seja, a probabilidade de que pelo menos 2 lâmpadas da segunda linha estejam desligadas. Para isso vamos usar o princípio de marginalização: somar a
para todos os
possíveis, mas só para
.
Passo 2
Lembrete de teoria: se você tem uma distribuição conjunta
, a probabilidade de um evento só envolvendo
(como
) é
Ou seja, a gente vai olhar as colunas
na tabela e somar todas as linhas
.
Passo 3
Vamos listar os valores da tabela para cada
:
- Para
:
Somando dá
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Agora é só juntar tudo: