(Degroot, ex. 1, pag 123) Suponha que um dispositivo elétrico tenha 3 lâmpadas na primeira linha e 4 lâmpadas na segunda linha. Seja X o número de lâmpadas na primeira linha que permaneçam desligadas em dado momento t, e seja Y o número de lâmpadas na segunda linha que permaneçam desligadas nesse mesmo tempo. Suponha que a função de probabilidade conjunta de X e Y seja como aparece na tabela abaixo:
Y
0 1 2 3 4
0 0,08 0,07 0,06 0,01 0,01
1 0,06 0,10 0,12 0,05 0,02
2 0,05 0,06 0,09 0,04 0,03
3 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04
Determine cada uma das seguintes probabilidades:
(b) P(Y >= 2);

Passo 1

Beleza, o exercício é o seguinte: temos um dispositivo com 3 lâmpadas na primeira linha e 4 na segunda. Definimos
  • X = número de lâmpadas desligadas na primeira linha (vai de 0 a 3)
  • Y = número de lâmpadas desligadas na segunda linha (vai de 0 a 4)
A função de probabilidade conjunta P(Y >= 2),, está dada na tabela. O que a gente precisa aqui é achar
ou seja, a probabilidade de que pelo menos 2 lâmpadas da segunda linha estejam desligadas. Para isso vamos usar o princípio de marginalização: somar a para todos os possíveis, mas só para .

Passo 2

Lembrete de teoria: se você tem uma distribuição conjunta P(Y >= 2) ;=; sumy=2^4;sumx=0^3 fX,Y(x,y) , a probabilidade de um evento só envolvendo (como ) é
Ou seja, a gente vai olhar as colunas na tabela e somar todas as linhas .

Passo 3

Vamos listar os valores da tabela para cada f(0,2)=0,06,; f(1,2)=0,12,; f(2,2)=0,09,; f(3,2)=0,03 :
  1. Para sumx=0^3 f(x,2) = 0,06 + 0,12 + 0,09 + 0,03 = 0,30 :
f(0,3)=0,01,; f(1,3)=0,05,; f(2,3)=0,04,; f(3,3)=0,03
Somando dá
sumx=0^3 f(x,3) = 0,01 + 0,05 + 0,04 + 0,03 = 0,13
  1. Para f(0,4)=0,01,; f(1,4)=0,02,; f(2,4)=0,03,; f(3,4)=0,04 :
sumx=0^3 f(x,4) = 0,01 + 0,02 + 0,03 + 0,04 = 0,10
  1. Para :

Passo 4

Agora é só juntar tudo:
P(Y>=2) = sumy=2^4sumx=0^3 f(x,y) = 0,30 + 0,13 + 0,10 = 0,53

Resposta

boxedP(Y >= 2) = 0,53

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