Numa população sabe-se que
possuem certa doença. A probabilidade de uma pessoa sabiadamente doente
apresentar resultado positivo
num teste é de
, enquanto que a de uma pessoa sabidamente não doente
apresentar um resultado negativo
é de
. Sabendo-se que os únicos resultados possíveis do teste são: positivo ou negativo, responda:
Os eventos T e D são independentes? Justifique sua resposta.
Os eventos T e D são independentes? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado diz e qual é a “brincadeira” aqui. A gente tem:
- P(D) = 0,2 (20% da galera tá doente)
- P(T | D) = 0,8 (quem é doente testa positivo 80% das vezes)
- P(Tᶜ | Dᶜ) = 0,9 (quem não é doente testa negativo 90% das vezes)
Os únicos resultados do teste são T (positivo) ou Tᶜ (negativo).
Conteúdo da matéria: probabilidade condicional, teorema da probabilidade total e definição de independência de eventos. A gente vai precisar calcular P(T) e comparar com P(T | D) pra ver se são independentes.
Passo 2
O que significa “T e D são independentes”?
Por definição, dois eventos A e B são independentes se uma destas condições (equivalentes) valem:
Por definição, dois eventos A e B são independentes se uma destas condições (equivalentes) valem:
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- P(A | B) = P(A)
Aqui é mais fácil usar a segunda: T e D seriam independentes se
Passo 3
Vamos achar P(T) pelo teorema da probabilidade total:
A gente já sabe P(T | D)=0.8 e P(D)=0.2.
Também P(Dᶜ)=1−0.2=0.8 e
Também P(Dᶜ)=1−0.2=0.8 e
Logo
$$
P(T)=0.8\cdot0.2 + 0.1\cdot0.8 = 0.16 + 0.08 = 0.24.
$$
Passo 4
Agora compara:
- P(T | D)=0.8
- P(T)=0.24
Como 0.8≠0.24, a condição de independência P(T | D)=P(T) não é satisfeita.
Resposta
Não, T e D não são independentes, pois
.