Numa população sabe-se que 20 % possuem certa doença. A probabilidade de uma pessoa sabiadamente doente (D) apresentar resultado positivo (T) num teste é de 80 %, enquanto que a de uma pessoa sabidamente não doente (D^c) apresentar um resultado negativo (T^c) é de 90 %. Sabendo-se que os únicos resultados possíveis do teste são: positivo ou negativo, responda:
Os eventos T e D são independentes? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado diz e qual é a “brincadeira” aqui. A gente tem:
  • P(D) = 0,2 (20% da galera tá doente)
  • P(T | D) = 0,8 (quem é doente testa positivo 80% das vezes)
  • P(Tᶜ | Dᶜ) = 0,9 (quem não é doente testa negativo 90% das vezes)
    Os únicos resultados do teste são T (positivo) ou Tᶜ (negativo).
    Conteúdo da matéria: probabilidade condicional, teorema da probabilidade total e definição de independência de eventos. A gente vai precisar calcular P(T) e comparar com P(T | D) pra ver se são independentes.

Passo 2

O que significa “T e D são independentes”?
Por definição, dois eventos A e B são independentes se uma destas condições (equivalentes) valem:
  1. P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
  2. P(A | B) = P(A)
    Aqui é mais fácil usar a segunda: T e D seriam independentes se
P(T mid D) = P(T),

Passo 3

Vamos achar P(T) pelo teorema da probabilidade total:
P(T) = P(T mid D),P(D) ;+; P(T mid D^c),P(D^c)
A gente já sabe P(T | D)=0.8 e P(D)=0.2.
Também P(Dᶜ)=1−0.2=0.8 e
P(T mid D^c)=1 - P(T^c mid D^c)=1-0.9=0.1
Logo
$$
P(T)=0.8\cdot0.2 + 0.1\cdot0.8 = 0.16 + 0.08 = 0.24.
$$

Passo 4

Agora compara:
  • P(T | D)=0.8
  • P(T)=0.24
    Como 0.8≠0.24, a condição de independência P(T | D)=P(T) não é satisfeita.

Resposta

Não, T e D não são independentes, pois P(Tmid D)=0.8neq P(T)=0.24,.

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