(Degroot, ex. 4, pag 124) Suponha que a densidade conjunta das v.a.s X e Y seja:
Determine:
(a) o valor de
;
(a) o valor de
Passo 1
Beleza, o exercício tá pedindo pra gente achar o valor de
de uma densidade conjunta
Conteúdo: probabilidade contínua, normalização de densidade.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Entender suporte em
e . - Usar a condição
. - Calcular integrais duplas, explorar simetria de função par.
Passo 2
Primeiro, definimos o suporte em
. Como
e
, precisa ter
, ou seja
.
Então a normalização vira:
Então a normalização vira:
Passo 3
Vamos calcular a integral interna em
:
Passo 4
Substituindo na integral total:
Reparou que o integrando é função par (só depende de
)? Então dá pra dobrar de 0 a 1:
Passo 5
Vamos distribuir e integrar termo a termo:
-
. -
.
Somando:
Logo
Passo 6
Colocando o
de volta na conta de normalização: