(Degroot, ex. 4, pag 124) Suponha que a densidade conjunta das v.a.s X e Y seja:
fX Y(x, y)=l k(x^2+y), 0 <= y <= 1-x^2, 0, cc
Determine:
(a) o valor de k;

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo pra gente achar o valor de fXY(x,y)= k,(x^2+y),&0<= y<= 1 - x^2, 0,&caso contrário de uma densidade conjunta
á
Conteúdo: probabilidade contínua, normalização de densidade.
O que vamos precisar:
  1. Entender suporte em e .
  2. Usar a condição .
  3. Calcular integrais duplas, explorar simetria de função par.

Passo 2

Primeiro, definimos o suporte em integralx=-1^1integraly=0^1-x^2 k,(x^2+y),dy,dx = 1 . Como e , precisa ter , ou seja .
Então a normalização vira:

Passo 3

Vamos calcular a integral interna em integral0^1-x^2(x^2+y),dy = integral0^1-x^2x^2,dy + integral0^1-x^2y,dy = x^2,(1-x^2) + (1-x^2)^22 :

Passo 4

Substituindo na integral total:
integral-1^1 l[x^2(1-x^2)+tfrac12(1-x^2)^2r],dx
Reparou que o integrando é função par (só depende de 2integral0^1 l[x^2(1-x^2)+tfrac12(1-x^2)^2r]dx )? Então dá pra dobrar de 0 a 1:

Passo 5

Vamos distribuir e integrar termo a termo:
  1. x^2 - x^4 + tfrac12 - x^2 + tfrac12 x^4 = tfrac12 - tfrac12 x^4 .
  2. 2integral0^1l(tfrac12 - tfrac12 x^4r)dx =2l[tfrac12 x - tfrac12cdottfracx^55r]0^1 =2l(tfrac12 - tfrac110r) =2cdottfrac410 =tfrac810 =tfrac45 .
    Somando:
Logo

Passo 6

Colocando o k cdot 45 = 1 Longrightarrow k = 54 de volta na conta de normalização:

Resposta

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