Numa população sabe-se que 20 % possuem certa doença. A probabilidade de uma pessoa sabiadamente doente (D) apresentar resultado positivo (T) num teste é de 80 %, enquanto que a de uma pessoa sabidamente não doente (D^c) apresentar um resultado negativo (T^c) é de 90 %. Sabendo-se que os únicos resultados possíveis do teste são: positivo ou negativo, responda:
Qual é a probabilidade de uma pessoa testada como positivo de fato ter a doença?

Passo 1

Beleza, vamos resumir:
– Temos uma população em que 20% (ou 0,2) das pessoas têm a doença (evento D).
– Se a pessoa está doente, o teste dá positivo com probabilidade de 80% (sensibilidade): .
– Se a pessoa não está doente ( ), o teste dá negativo com probabilidade de 90% (especificidade): .
– Só existem resultados positivo (T) e negativo ( ).
O que a gente quer: a probabilidade de a pessoa realmente ter a doença dado que o teste deu positivo, ou seja .
Pra isso, vamos usar a Teorema de Bayes e a regra da probabilidade total.

Passo 2

Definindo os eventos e aplicando a Teorema de Bayes:
P(D|T) ;=; P(T|D),P(D)P(T) = 0.2 (pré-probabilidade de ter a doença)
= 1 – 0.2 = 0.8 (não ter a doença)
= 0.8 (sensibilidade)
= 1 – = 1 – 0.9 = 0.1 (taxa de falso-positivo)
A Teorema de Bayes diz:
Mas antes a gente precisa de , que é a probabilidade de dar positivo em geral.

Passo 3

Calculando P(T) ;=; P(T|D),P(D);+;P(T|D^c),P(D^c) pela regra da probabilidade total:
P(T) ;=; 0.8 times 0.2 ;+; 0.1 times 0.8 ;=; 0.16 ;+; 0.08 ;=; 0.24
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora volta na fórmula de Bayes:
P(D|T) =P(T|D),P(D)P(T) =0.8 times 0.20.24 =0.160.24 =1624 =23 approx 0.6667

Resposta

A probabilidade de a pessoa realmente ter a doença, dado que o teste deu positivo, é (aproximadamente 66,7%).

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