Numa população sabe-se que
possuem certa doença. A probabilidade de uma pessoa sabiadamente doente
apresentar resultado positivo
num teste é de
, enquanto que a de uma pessoa sabidamente não doente
apresentar um resultado negativo
é de
. Sabendo-se que os únicos resultados possíveis do teste são: positivo ou negativo, responda:
Qual é a probabilidade de uma pessoa testada como positivo de fato ter a doença?
Qual é a probabilidade de uma pessoa testada como positivo de fato ter a doença?
Passo 1
Beleza, vamos resumir:
– Temos uma população em que 20% (ou 0,2) das pessoas têm a doença (evento D).
– Se a pessoa está doente, o teste dá positivo com probabilidade de 80% (sensibilidade): .
– Se a pessoa não está doente ( ), o teste dá negativo com probabilidade de 90% (especificidade):
.
– Só existem resultados positivo (T) e negativo ( ).
O que a gente quer: a probabilidade de a pessoa realmente ter a doença dado que o teste deu positivo, ou seja .
Pra isso, vamos usar a Teorema de Bayes e a regra da probabilidade total.
– Temos uma população em que 20% (ou 0,2) das pessoas têm a doença (evento D).
– Se a pessoa está doente, o teste dá positivo com probabilidade de 80% (sensibilidade):
– Se a pessoa não está doente (
– Só existem resultados positivo (T) e negativo (
O que a gente quer: a probabilidade de a pessoa realmente ter a doença dado que o teste deu positivo, ou seja
Pra isso, vamos usar a Teorema de Bayes e a regra da probabilidade total.
Passo 2
Definindo os eventos e aplicando a Teorema de Bayes:
– = 0.2 (pré-probabilidade de ter a doença)
– = 1 – 0.2 = 0.8 (não ter a doença)
– = 0.8 (sensibilidade)
– = 1 –
= 1 – 0.9 = 0.1 (taxa de falso-positivo)
–
–
–
–
A Teorema de Bayes diz:
Mas antes a gente precisa de
, que é a probabilidade de dar positivo em geral.
Passo 3
Calculando
pela regra da probabilidade total:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora volta na fórmula de Bayes:
Resposta
A probabilidade de a pessoa realmente ter a doença, dado que o teste deu positivo, é
(aproximadamente 66,7%).