(Degroot, ex. 1, pag 123) Suponha que um dispositivo elétrico tenha 3 lâmpadas na primeira linha e 4 lâmpadas na segunda linha. Seja X o número de lâmpadas na primeira linha que permaneçam desligadas em dado momento t, e seja Y o número de lâmpadas na segunda linha que permaneçam desligadas nesse mesmo tempo. Suponha que a função de probabilidade conjunta de X e Y seja como aparece na tabela abaixo:
Y
0 1 2 3 4
0 0,08 0,07 0,06 0,01 0,01
1 0,06 0,10 0,12 0,05 0,02
2 0,05 0,06 0,09 0,04 0,03
3 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04
Determine cada uma das seguintes probabilidades:
(e) P(X>Y);

Passo 1

O enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias discretas X e Y com distribuição conjunta dada numa tabela:
  • X é o número de lâmpadas desligadas na primeira linha (pode ser 0,1,2 ou 3).
  • Y é o número de lâmpadas desligadas na segunda linha (pode ser 0,1,2,3 ou 4).
    A tabela nos dá cada pX,Y(x,y)=P(X=x,Y=y).
    Conteúdo: variáveis aleatórias discretas, função de probabilidade conjunta e soma de probabilidades em uma região.
    O que vamos precisar:
  1. Entender que, para variáveis discretas, a probabilidade de um evento é a soma das probabilidades pontuais que satisfazem aquele evento.
  2. Saber identificar todos os pares (x,y) que fazem X>Y e somar pX,Y(x,y) nesses pontos.

Passo 2

Em teoria, para qualquer conjunto A de pares (x,y),
Pl((X,Y)in Ar);=;sum(x,y)in A pX,Y(x,y)
No nosso caso, P(X>Y) ;=; sumx=0^3sumy=0^4 pX,Y(x,y),1x>y, . Logo,
1x>y
onde x>y vale 1 se e 0 caso contrário.

Passo 3

Agora a gente lista os pares com x>y:
(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2).
Da tabela, os valores são:
  • p(1,0)=0,06
  • p(2,0)=0,05
  • p(2,1)=0,06
  • p(3,0)=0,02
  • p(3,1)=0,03
  • p(3,2)=0,03
Então
P(X>Y) =0,06 + 0,05 + 0,06 + 0,02 + 0,03 + 0,03

Resposta

P(X>Y) ;=; 0,25

Exercícios relacionados