(Degroot, ex. 1, pag 123) Suponha que um dispositivo elétrico tenha 3 lâmpadas na primeira linha e 4 lâmpadas na segunda linha. Seja X o número de lâmpadas na primeira linha que permaneçam desligadas em dado momento
, e seja Y o número de lâmpadas na segunda linha que permaneçam desligadas nesse mesmo tempo. Suponha que a função de probabilidade conjunta de X e Y seja como aparece na tabela abaixo:
|
||||||
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||
0 | 0,08 | 0,07 | 0,06 | 0,01 | 0,01 | |
1 | 0,06 | 0,10 | 0,12 | 0,05 | 0,02 | |
2 | 0,05 | 0,06 | 0,09 | 0,04 | 0,03 | |
3 | 0,02 | 0,03 | 0,03 | 0,03 | 0,04 |
Determine cada uma das seguintes probabilidades:
(e) ;
(e)
Passo 1
O enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias discretas X e Y com distribuição conjunta dada numa tabela:
- X é o número de lâmpadas desligadas na primeira linha (pode ser 0,1,2 ou 3).
- Y é o número de lâmpadas desligadas na segunda linha (pode ser 0,1,2,3 ou 4).
A tabela nos dá cada.
Conteúdo: variáveis aleatórias discretas, função de probabilidade conjunta e soma de probabilidades em uma região.
O que vamos precisar:
- Entender que, para variáveis discretas, a probabilidade de um evento é a soma das probabilidades pontuais que satisfazem aquele evento.
- Saber identificar todos os pares
que fazem e somar nesses pontos.
Passo 2
Em teoria, para qualquer conjunto
de pares
,
No nosso caso,
. Logo,
onde
vale 1 se
e 0 caso contrário.
Passo 3
Agora a gente lista os pares com
:
(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2).
Da tabela, os valores são:
(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2).
Da tabela, os valores são:
Então