(Degroot, ex. 7, pag 125) Suponha que X e Y são v.a.s. tais que o vetor aleatório (X, Y) pertença ao retângulo contendo todos os pontos x e y para os quais 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= 4. Suponha também que a distribuição acumulada conjunta de X e Y em qualquer ponto (x, y) no retângulo seja especificada por:
FX Y(x, y)=1156 x y(x^2+y)
Determine:
(a) P(1 <= X <= 2 e 1 <= Y <= 2);

Passo 1

Beleza, então o problema diz que temos duas variáveis aleatórias contínuas 0<= x<=3, 0<= y<=4 e FXY(x,y)=1156,x,y,(x^2 + y) com suporte no retângulo
P(1<= X<=2,;1<= Y<=2)
e cuja função de distribuição acumulada conjunta é
A questão (a) pede
O conteúdo aqui é “distribuição conjunta contínua” e o que vamos precisar é a relação entre a CDF conjunta e a probabilidade num “retângulo” em .

Passo 2

Para variáveis contínuas, a gente usa a fórmula de inclusão-exclusão na CDF:
P(a<= X<= b,; c<= Y<= d) =F(b,d);-;F(a,d);-;F(b,c);+;F(a,c)
A ideia é que conta tudo até , daí você tira as faixas indesejadas e devolve o pedaço que foi “tirado duas vezes”. É tipo contar áreas num plano.

Passo 3

Agora a gente só aplica pra F(2,2),;F(1,2),;F(2,1),;F(1,1) , , , . Precisamos de

Passo 4

Agora junta tudo na fórmula:
P(1<= X<=2,;1<= Y<=2) =F(2,2)-F(1,2)-F(2,1)+F(1,1) =213-126-578+178
Colocando tudo em 78 avos:
213=1278, 126=378,
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P=1278-378-578+178 =12-3-5+178 =578

Resposta

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