(Degroot, ex. 7, pag 125) Suponha que
e
são v.a.s. tais que o vetor aleatório
pertença ao retângulo contendo todos os pontos
e
para os quais
e
. Suponha também que a distribuição acumulada conjunta de
e
em qualquer ponto
no retângulo seja especificada por:
Determine:
(a)
e
;
(a)
Passo 1
Beleza, então o problema diz que temos duas variáveis aleatórias contínuas
e
com suporte no retângulo
e cuja função de distribuição acumulada conjunta é
A questão (a) pede
O conteúdo aqui é “distribuição conjunta contínua” e o que vamos precisar é a relação entre a CDF conjunta e a probabilidade num “retângulo” em
.
Passo 2
Para variáveis contínuas, a gente usa a fórmula de inclusão-exclusão na CDF:
A ideia é que
conta tudo até
, daí você tira as faixas indesejadas e devolve o pedaço que foi “tirado duas vezes”. É tipo contar áreas num plano.
Passo 3
Agora a gente só aplica pra
,
,
,
. Precisamos de
Passo 4
Agora junta tudo na fórmula:
Colocando tudo em 78 avos:
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