No lançamento de dois dados, seja X a v.a que representa a soma das faces e seja Y o valor absoluto da diferença. Apresente o espaço amostral do experimento e a função de probabilidade conjunta de X e Y.

Passo 1

Beleza, o que o enunciado tá pedindo é o seguinte: a gente joga dois dados, define
  • X = soma das faces
  • Y = valor absoluto da diferença entre as faces
E quer:
  1. o espaço amostral Ω do experimento (ou seja, todos os resultados possíveis)
  2. a função de probabilidade conjunta
O conteúdo envolvido aqui é variável aleatória discreta e contagem de casos em probabilidade. A gente vai precisar listar os pares de resultados possíveis e, depois, contar quantos deles dão cada par .

Passo 2

Primeiro, o espaço amostral Ω:
Cada dado pode dar 1,2,3,4,5 ou 6, então
Omega = (i,j)mid iin1,dots,6,;jin1,dots,6
No total são resultados igualmente prováveis.

Passo 3

Agora a definição da probabilidade conjunta:
pX,Y(x,y) = P(X=x,;Y=y) = l|(i,j)inOmega : i+j = x ;e; |,i-j,|=yr|36
Ou seja, para cada par a gente conta quantos pares satisfazem soma e diferença , e divide por 36.

Passo 4

Vamos ver como contar esses casos de um jeito geral:
  1. Caso pX,Y(x,0)= tfrac136,&xin2,4,6,8,10,12, 0,&caso contrário :
    • Isso só acontece quando pX,Y(x,y)= tfrac236, &yin1,2,3,4,5,;xin2+y,dots,12-y, 0,&caso contrário .
    • A soma é , então .
    • Para cada valor de só há 1 par .
      Logo
    á
  2. Caso (isto é, ):
    • Se , ou ou .
    • Em cada um desses “sinais” basta resolver junto com .
      Isso dá duas soluções simétricas e , quando elas estiverem dentro de .
    • Para cada , a soma mínima é quando dando , e a soma máxima é em dando .
    • Entre esses valores de , para cada par há exatamente 2 resultados em Ω.
    Então
    á

Resposta

Espaço amostral:
Omega=(i,j):i,jin1,dots,6, |Omega|=36
Função de probabilidade conjunta pX,Y(x,y) = dfrac136, & y=0,;xin2,4,6,8,10,12,[6pt] dfrac236, &yin1,2,3,4,5,;xin2+y,dots,12-y,[4pt] 0, &caso contrário :
á

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