No lançamento de dois dados, seja X a v.a que representa a soma das faces e seja Y o valor absoluto da diferença. Apresente o espaço amostral do experimento e a função de probabilidade conjunta de X e Y.
Passo 1
Beleza, o que o enunciado tá pedindo é o seguinte: a gente joga dois dados, define
X = soma das faces
Y = valor absoluto da diferença entre as faces
E quer:
o espaço amostral Ω do experimento (ou seja, todos os resultados possíveis)
a função de probabilidade conjunta
O conteúdo envolvido aqui é variável aleatória discreta e contagem de casos em probabilidade. A gente vai precisar listar os pares de resultados possíveis e, depois, contar quantos deles dão cada par .
Passo 2
Primeiro, o espaço amostral Ω:
Cada dado pode dar 1,2,3,4,5 ou 6, então
No total são resultados igualmente prováveis.
Passo 3
Agora a definição da probabilidade conjunta:
Ou seja, para cada par a gente conta quantos pares satisfazem soma e diferença , e divide por 36.
Passo 4
Vamos ver como contar esses casos de um jeito geral:
Caso pX,Y(x,0)= tfrac136,&xin2,4,6,8,10,12, 0,&caso contrário :
Isso só acontece quando pX,Y(x,y)= tfrac236, &yin1,2,3,4,5,;xin2+y,dots,12-y, 0,&caso contrário .
A soma é , então .
Para cada valor de só há 1 par .
Logo
á
Caso (isto é, ):
Se , ou ou .
Em cada um desses “sinais” basta resolver junto com .
Isso dá duas soluções simétricas e , quando elas estiverem dentro de .
Para cada , a soma mínima é quando dando , e a soma máxima é em dando .
Entre esses valores de , para cada par há exatamente 2 resultados em Ω.