(Degroot, ex. 7, pag 125) Suponha que X e Y são v.a.s. tais que o vetor aleatório (X, Y) pertença ao retângulo contendo todos os pontos x e y para os quais 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= 4. Suponha também que a distribuição acumulada conjunta de X e Y em qualquer ponto (x, y) no retângulo seja especificada por:
FX Y(x, y)=1156 x y(x^2+y)
Determine:
(e) A densidade conjunta de X e Y;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas v.a.s contínuas 0 <= x <= 3, 0 <= y <= 4 e FXY(x,y)=1156,x,yl(x^2+yr) que vivem no retângulo
e a função de distribuição acumulada conjunta é
O conteúdo aqui é “variáveis contínuas” e “densidade conjunta”, e o que a gente precisa fazer é usar derivadas parciais para passar da CDF para a PDF .

Passo 2

Teoria rápida: para variáveis contínuas a densidade conjunta é justamente a derivada mista da CDF, ou seja
fXY(x,y) =partial^2partial x,partial y, FXY(x,y)
Como é “bonitinha” (suave), você pode derivar primeiro em e depois em (ou vice-versa), o resultado é o mesmo.

Passo 3

Vamos calcular de fato:
  1. Reescrevendo
FXY(x,y) =1156l(x^3y + x,y^2r)
  1. Derivada parcial em partial FXYpartial x =1156l(3x^2y + y^2r) :
fXY(x,y) =partialpartial yl[tfrac1156(3x^2y + y^2)r] =1156l(3x^2 + 2yr)
  1. Agora derivada parcial desse resultado em :

Resposta

A densidade conjunta é
fXY(x,y)= 3x^2 + 2y156,&0<= x<=3,;0<= y<=4,[6pt] 0,&caso contrário á

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