(Degroot, ex. 7, pag 125) Suponha que
e
são v.a.s. tais que o vetor aleatório
pertença ao retângulo contendo todos os pontos
e
para os quais
e
. Suponha também que a distribuição acumulada conjunta de
e
em qualquer ponto
no retângulo seja especificada por:
Determine:
(e) A densidade conjunta de
e
;
(e) A densidade conjunta de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos duas v.a.s contínuas
e
que vivem no retângulo
e a função de distribuição acumulada conjunta é
O conteúdo aqui é “variáveis contínuas” e “densidade conjunta”, e o que a gente precisa fazer é usar derivadas parciais para passar da CDF
para a PDF
.
Passo 2
Teoria rápida: para variáveis contínuas a densidade conjunta é justamente a derivada mista da CDF, ou seja
Como
é “bonitinha” (suave), você pode derivar primeiro em
e depois em
(ou vice-versa), o resultado é o mesmo.
Passo 3
Vamos calcular de fato:
- Reescrevendo
- Derivada parcial em
:
- Agora derivada parcial desse resultado em
:
Resposta
A densidade conjunta é