(deGroot) Suponha que um certo tipo de fita magnética contenha, em média, 3 defeitos a cada 1000 metros. Qual é a probabilidade de que um rolo de fita com 1200 metros não contenha nenhum defeito?

Passo 1

O enunciado dá que, em média, há 3 defeitos a cada 1000 metros de fita. Pergunta-se: qual é a probabilidade de que um rolo de fita com 1200 metros não contenha nenhum defeito?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Taxa média: 3 defeitos por 1000 metros.
  • Comprimento do rolo: 1200 metros.
  • Interesse: probabilidade de 0 defeitos no rolo.

Passo 2

Modelagem e escolha do método (por que usar esse modelo).
Para contagens de eventos raros ao longo de uma unidade contínua (aqui: defeitos por comprimento), o modelo padrão é a distribuição de Poisson. O motivo intuitivo: defeitos são eventos discretos, raros por unidade de comprimento, e ocorrem de forma aproximadamente independente ao longo da fita. A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrer k eventos em um intervalo quando a média esperada de eventos nesse intervalo é \lambda.
Definição útil da Poisson: se X segue Poisson com parâmetro \lambda, então, para k=0,1,2,\dots,
P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!}.
Aqui \lambda é a média esperada de defeitos no intervalo considerado. Vamos calcular \lambda para 1200 metros usando a taxa fornecida:
\lambda = 3\cdot\frac{1200}{1000}=3\cdot1{,}2=3{,}6.
Explicando: a taxa é 3 defeitos por 1000 m, então para 1200 m a média escala proporcionalmente por 1200/1000.

Passo 3

Aplicar a fórmula da Poisson para k=0.
Queremos P(X=0) com X\sim Poisson (\lambda) e \lambda=3{,}6. Usando a fórmula,
P(X=0)=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{0}}{0!}=e^{-\lambda},
porque \lambda^{0}=1 e 0!=1. Portanto a resposta exata em termos da função exponencial é
P(X=0)=e^{-3{,}6}.

Passo 4

Cálculo numérico aproximado de e^{-3{,}6}.
Podemos escrever e^{-3{,}6}=e^{-3}\cdot e^{-0{,}6}. Valores aproximados conhecidos (ou obtidos com uma calculadora) são
e^{-3}\approx0{,}04978707,\qquad e^{-0{,}6}\approx0{,}54881164.
Multiplicando,
e^{-3{,}6}\approx0{,}04978707\cdot0{,}54881164\approx0{,}0273237.
Em porcentagem, isso é aproximadamente 2{,}73\%. Isso significa que é relativamente improvável (cerca de 2{,}7\%) que um rolo de 1200 m não tenha defeitos, dado o ritmo médio informado.

Passo 5

Pequena verificação de coerência e observação prática.
  • Se o comprimento fosse exatamente 1000 m, \lambda=3 e P(X=0)=e^{-3}\approx0{,}0498 (cerca de 5{,}0\%). Ao aumentar para 1200 m, a média sobe para 3{,}6 e a probabilidade de zero defeitos diminui, como faz sentido.
  • Se preferir, também dá para modelar como binomial com n=1200 metros (cada metro com probabilidade p=3/1000 de ter um defeito) e usar a aproximação de Poisson para np pequeno; isso leva ao mesmo resultado prático.

Resposta

e^{-3{,}6}\approx0{,}0273237

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