(deGroot) Suponha que um certo tipo de fita magnética contenha, em média, 3 defeitos a cada 1000 metros. Qual é a probabilidade de que um rolo de fita com 1200 metros não contenha nenhum defeito?
Passo 1
O enunciado dá que, em média, há
defeitos a cada
metros de fita. Pergunta-se: qual é a probabilidade de que um rolo de fita com
metros não contenha nenhum defeito?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Taxa média:
defeitos por metros. - Comprimento do rolo:
metros. - Interesse: probabilidade de
defeitos no rolo.
Passo 2
Modelagem e escolha do método (por que usar esse modelo).
Para contagens de eventos raros ao longo de uma unidade contínua (aqui: defeitos por comprimento), o modelo padrão é a distribuição de Poisson. O motivo intuitivo: defeitos são eventos discretos, raros por unidade de comprimento, e ocorrem de forma aproximadamente independente ao longo da fita. A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrer eventos em um intervalo quando a média esperada de eventos nesse intervalo é
.
Definição útil da Poisson: se segue Poisson com parâmetro
, então, para
,
Para contagens de eventos raros ao longo de uma unidade contínua (aqui: defeitos por comprimento), o modelo padrão é a distribuição de Poisson. O motivo intuitivo: defeitos são eventos discretos, raros por unidade de comprimento, e ocorrem de forma aproximadamente independente ao longo da fita. A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrer
Definição útil da Poisson: se
Aqui
é a média esperada de defeitos no intervalo considerado. Vamos calcular
para
metros usando a taxa fornecida:
Explicando: a taxa é
defeitos por
m, então para
m a média escala proporcionalmente por
.
Passo 3
Aplicar a fórmula da Poisson para
.
Queremos com
Poisson
e
. Usando a fórmula,
Queremos
porque
e
. Portanto a resposta exata em termos da função exponencial é
Passo 4
Cálculo numérico aproximado de
.
Podemos escrever . Valores aproximados conhecidos (ou obtidos com uma calculadora) são
Podemos escrever
Multiplicando,
Em porcentagem, isso é aproximadamente
. Isso significa que é relativamente improvável (cerca de
) que um rolo de
m não tenha defeitos, dado o ritmo médio informado.
Passo 5
Pequena verificação de coerência e observação prática.
- Se o comprimento fosse exatamente
m, e (cerca de ). Ao aumentar para m, a média sobe para e a probabilidade de zero defeitos diminui, como faz sentido. - Se preferir, também dá para modelar como binomial com
metros (cada metro com probabilidade de ter um defeito) e usar a aproximação de Poisson para pequeno; isso leva ao mesmo resultado prático.