(deGroot) Uma companhia aérea vende 200 passagens para um determinado voo em um avião que possui apenas 198 assentos porque, em média,
dos compradores de passagens não comparecem para o embarque de seu voo. Determine a probabilidade de que todos os passageiros que comparecerem para o embarque desse voo tenham um assento.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- A companhia vende
passagens para um avião com assentos. - Cada comprador não comparece com probabilidade
(ou seja, a probabilidade de comparecer é ). - Assume-se independência entre os compradores (cada um comparece ou não independentemente).
- A pergunta: determinar a probabilidade de que todos os passageiros que comparecerem tenham assento.
Observação útil para ficar claro: isso significa que o número de passageiros que comparecem deve ser menor ou igual a
. Se
for o número de comparecimentos, queremos
.
Passo 2
Modelagem e fórmula básica (aula rápida sobre Binomial).
- Quando há
ensaios independentes, cada um com probabilidade de “sucesso” (aqui “comparecer”), o número de sucessos segue uma distribuição binomial . - A fórmula da probabilidade pontual é
onde
é o coeficiente binomial.
- No nosso caso:
e . Então .
Passo 3
Escrever a probabilidade pedida e simplificar usando complemento.
Queremos
É mais prático usar o complementar (só faltam dois termos):
Passo 4
Calcular
e
simbolicamente e simplificar.
Usando a fórmula binomial:
Somando estes dois termos e fatorando
:
Portanto
Passo 5
Aproximação numérica de
(explicando o método para a prova).
Para calcular
sem somar todos os termos, usar logaritmos/exponencial é prático:
Multiplicando por
:
Logo
Sabendo que
e usando a expansão
para
pequeno,
Portanto
Passo 6
Finalizar a conta e interpretar o resultado.
Agora substituímos na expressão obtida:
Calcule:
logo
Interpretação: a probabilidade de que todos os que comparecerem tenham assento é cerca de
, ou seja aproximadamente
. Dá para ver que vender 2 lugares a mais do que os assentos gera uma chance um pouco maior que
de que não haja excesso de passageiros — mas não é garantido.