(deGroot) Uma companhia aérea vende 200 passagens para um determinado voo em um avião que possui apenas 198 assentos porque, em média, 1 \% dos compradores de passagens não comparecem para o embarque de seu voo. Determine a probabilidade de que todos os passageiros que comparecerem para o embarque desse voo tenham um assento.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A companhia vende 200 passagens para um avião com 198 assentos.
  • Cada comprador não comparece com probabilidade 0,01 (ou seja, a probabilidade de comparecer é 0,99).
  • Assume-se independência entre os compradores (cada um comparece ou não independentemente).
  • A pergunta: determinar a probabilidade de que todos os passageiros que comparecerem tenham assento.
Observação útil para ficar claro: isso significa que o número de passageiros que comparecem deve ser menor ou igual a 198. Se X for o número de comparecimentos, queremos \Pr(X \le 198).

Passo 2

Modelagem e fórmula básica (aula rápida sobre Binomial).
  • Quando há n ensaios independentes, cada um com probabilidade p de “sucesso” (aqui “comparecer”), o número de sucessos X segue uma distribuição binomial \mathrm{Bin}(n,p).
  • A fórmula da probabilidade pontual é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial.
  • No nosso caso: n=200 e p=0,99. Então X\sim\mathrm{Bin}(200,0,99).

Passo 3

Escrever a probabilidade pedida e simplificar usando complemento.
Queremos
\Pr(X\le 198)=\sum_{k=0}^{198} \binom{200}{k} (0,99)^k (0,01)^{200-k}.
É mais prático usar o complementar (só faltam dois termos):
\Pr(X\le 198)=1-\Pr(X=199)-\Pr(X=200).

Passo 4

Calcular \Pr(X=199) e \Pr(X=200) simbolicamente e simplificar.
Usando a fórmula binomial:
\Pr(X=200)=(0,99)^{200},
\Pr(X=199)=\binom{200}{199}(0,99)^{199}(0,01)=200\cdot(0,99)^{199}\cdot 0,01.
Somando estes dois termos e fatorando (0,99)^{199}:
\Pr(X=199)+\Pr(X=200)=(0,99)^{199}\big(200\cdot 0,01 + 0,99\big)=(0,99)^{199}\cdot 2,99.
Portanto
\Pr(X\le 198)=1-(0,99)^{199}\cdot 2,99.

Passo 5

Aproximação numérica de (0,99)^{199} (explicando o método para a prova).
Para calcular (0,99)^{199} sem somar todos os termos, usar logaritmos/exponencial é prático:
\ln(0,99) \approx -0,01005033585.
Multiplicando por 199:
199\ln(0,99)\approx -2,000016835.
Logo
(0,99)^{199}=\exp\big(199\ln(0,99)\big)\approx e^{-2,000016835}=e^{-2}\,e^{-0,000016835}.
Sabendo que e^{-2}\approx 0,1353352832 e usando a expansão e^{\varepsilon}\approx 1+\varepsilon para \varepsilon pequeno,
e^{-0,000016835}\approx 1-0,000016835.
Portanto
(0,99)^{199}\approx 0,1353352832\cdot(1-0,000016835)\approx 0,135333004.

Passo 6

Finalizar a conta e interpretar o resultado.
Agora substituímos na expressão obtida:
\Pr(X\le 198)=1-(0,99)^{199}\cdot 2,99\approx 1-0,135333004\cdot 2,99.
Calcule:
0,135333004\cdot 2,99\approx 0,404645682,
logo
\Pr(X\le 198)\approx 1-0,404645682=0,595354318.
Interpretação: a probabilidade de que todos os que comparecerem tenham assento é cerca de 0,5954, ou seja aproximadamente 59,54\%. Dá para ver que vender 2 lugares a mais do que os assentos gera uma chance um pouco maior que 1/2 de que não haja excesso de passageiros — mas não é garantido.

Resposta

0,59535

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