(deGroot) Suponha que a f.d.a. de uma variável aleatória
Encontre a f.d.p. de (X].
Passo 1
O enunciado dá a função de distribuição acumulada (f.d.a.)
O que se pede: encontrar a função densidade de probabilidade (f.d.p.)
.
Passo 2
Conceito essencial que vamos usar (explicado de forma simples): a f.d.p.
de uma variável contínua é, quando existe, a derivada da f.d.a.
. Formalmente, em pontos onde
é diferenciável,
Além disso, se
tiver saltos (descontinuidades) em um ponto
, isso corresponde a probabilidade atômica
(uma massa pontual). Portanto, para obter
devemos:
- verificar se há saltos em
(para detectar massas pontuais); - derivar
nas partes onde ela é diferenciável (para obter a densidade contínua).
Passo 3
Verificar possíveis saltos (pontos com massa pontual).
- Em
: calculo os limites lateral esquerdo e direito.
Logo
. Não há salto em
.
- Em
: calculo os limites lateral esquerdo e direito.
Logo
. Não há salto em
.
Conclusão: não existem massas pontuais; toda a probabilidade está na parte contínua.
Conclusão: não existem massas pontuais; toda a probabilidade está na parte contínua.
Passo 4
Derivar
na região onde ela é dada por
, isto é, para
.
Usando derivação básica de potências:
Usando derivação básica de potências:
Para
e para
a f.d.a. é constante (0 ou 1), logo a derivada é zero nessas regiões. Observação técnica: o valor pontual de
em
ou
não altera probabilidades (valem zero como pontos), então podemos definir
arbitrariamente nesses pontos; o essencial é a expressão em intervalo aberto.
Passo 5
Verificação rápida da normalização (para ganhar confiança): integrar
sobre todo o eixo deve dar 1.
Tudo consistente: a densidade integra 1.
Passo 6
Escrevo a f.d.p. final, juntando os resultados dos passos anteriores: ela é zero fora de
e igual a
em
.