(deGroot) Suponha que a f.d.a. de uma variável aleatória X\) seja dada por: \[F(x)= \begin{cases}0, & x \leq 0 \\\ \frac{1}{9} x^{2}, & 0<x \leq 3 \\\\ 1, & x>3\end{cases}
Encontre a f.d.p. de (X].

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada (f.d.a.) F\) de uma variável aleatória \(X\) definida por: \[F(x)= \begin{cases}0, & x \leq 0 \\\ \dfrac{1}{9}x^{2}, & 0<x \leq 3 \\\\ 1, & x>3\end{cases}
O que se pede: encontrar a função densidade de probabilidade (f.d.p.) f\] associada a \(F.

Passo 2

Conceito essencial que vamos usar (explicado de forma simples): a f.d.p. f de uma variável contínua é, quando existe, a derivada da f.d.a. F. Formalmente, em pontos onde F é diferenciável,
f(x)=F'(x).
Além disso, se F tiver saltos (descontinuidades) em um ponto a, isso corresponde a probabilidade atômica P(X=a)=F(a)-F(a^-) (uma massa pontual). Portanto, para obter f devemos:
  • verificar se há saltos em F (para detectar massas pontuais);
  • derivar F nas partes onde ela é diferenciável (para obter a densidade contínua).

Passo 3

Verificar possíveis saltos (pontos com massa pontual).
  • Em x=0: calculo os limites lateral esquerdo e direito.
F(0^-)=0, \qquad F(0^+)=\lim_{x\to0^+}\frac{1}{9}x^2=0.
Logo F(0)-F(0^-)=0. Não há salto em x=0.
  • Em x=3: calculo os limites lateral esquerdo e direito.
F(3^-)=\lim_{x\to3^-}\frac{1}{9}x^2=\frac{1}{9}\cdot 3^2=1,\qquad F(3^+)=1.
Logo F(3)-F(3^-)=0. Não há salto em x=3.
Conclusão: não existem massas pontuais; toda a probabilidade está na parte contínua.

Passo 4

Derivar F na região onde ela é dada por \dfrac{1}{9}x^2, isto é, para 0<x<3.
Usando derivação básica de potências:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{9}x^2\right)=\frac{1}{9}\cdot 2x=\frac{2}{9}x.
Para x<0 e para x>3 a f.d.a. é constante (0 ou 1), logo a derivada é zero nessas regiões. Observação técnica: o valor pontual de f em x=0 ou x=3 não altera probabilidades (valem zero como pontos), então podemos definir f arbitrariamente nesses pontos; o essencial é a expressão em intervalo aberto.

Passo 5

Verificação rápida da normalização (para ganhar confiança): integrar f sobre todo o eixo deve dar 1.
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{3} \frac{2}{9}x\,dx = \frac{2}{9}\cdot\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^3 = \frac{2}{9}\cdot\frac{9}{2}=1.
Tudo consistente: a densidade integra 1.

Passo 6

Escrevo a f.d.p. final, juntando os resultados dos passos anteriores: ela é zero fora de (0,3) e igual a \dfrac{2}{9}x em (0,3).

Resposta

f(x)=\begin{cases} \dfrac{2}{9}x, & 0<x<3\\[6pt] 0, & \text{caso contrário} \end{cases}á]

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