(deGroot) Suponha que
Encontre a f.d.a. de (X].
Passo 1
O enunciado dá a densidade de probabilidade de uma variável aleatória
E pede: encontrar a função de distribuição acumulada (f.d.a.) de
para todo
.
Informações relevantes dadas:
- A função
é não nula apenas no intervalo aberto . - Para
fora de temos .
O que precisamos entregar:
- A expressão de
definida para todos os , normalmente em forma de função por partes.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (mini-aula): a f.d.a.
de uma variável contínua com densidade
é dada por
Aqui a variável de integração foi renomeada para
para evitar confusão com o limite
. Isso vale para todo
. A ideia prática é integrar a densidade desde
até
; como a densidade é zero fora de
, só precisamos integrar onde
é diferente de zero.
Passo 3
Verificação rápida (bom hábito): confirmar que
é uma densidade válida integrando sobre todo o eixo:
Portanto está normalizada, tudo certo.
Passo 4
Determinar
para
.
Como
para todo
, ao integrar até qualquer
obtemos
Passo 5
Determinar
para
.
Agora a integral acumula a probabilidade desde
até
, mas como
para
e
para
, a integral reduz-se a
Calculemos a integral:
Logo, para
vale
.
Passo 6
Determinar
para
.
Para
a integral até
inclui todo o suporte
, portanto
Passo 7
Verificação das contiguidades nos pontos de fronteira e resumo.
- Em
: o limite pela direita de é , compatível com . - Em
: o limite pela esquerda é , compatível com .
Portanto a f.d.a. está bem definida e é contínua nos pontos de fronteira (como esperado para densidade contínua).