(deGroot) Suponha que X\) tenha f.d.p. \[f_{X}(x)= \begin{cases}2 x, & 0<x<1 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
Encontre a f.d.a. de (X].

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade de uma variável aleatória X\): \[f_{X}(x)= \begin{cases}2 x, & 0<x<1 \\\\ 0, & \text{caso contrário}\end{cases}
E pede: encontrar a função de distribuição acumulada (f.d.a.) de X\], isto é, \(F_X(x)=P(X\le x) para todo x\in\mathbb{R}.
Informações relevantes dadas:
  • A função f_X(x) é não nula apenas no intervalo aberto (0,1).
  • Para x fora de (0,1) temos f_X(x)=0.
O que precisamos entregar:
  • A expressão de F_X(x) definida para todos os x, normalmente em forma de função por partes.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (mini-aula): a f.d.a. F_X de uma variável contínua com densidade f_X é dada por
F_X(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,dt.
Aqui a variável de integração foi renomeada para t para evitar confusão com o limite x. Isso vale para todo x\in\mathbb{R}. A ideia prática é integrar a densidade desde -\infty até x; como a densidade é zero fora de (0,1), só precisamos integrar onde f_X é diferente de zero.

Passo 3

Verificação rápida (bom hábito): confirmar que f_X é uma densidade válida integrando sobre todo o eixo:
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(t)\,dt = \int_{0}^{1} 2t\,dt = \bigl[t^2\bigr]_{0}^{1}=1.
Portanto está normalizada, tudo certo.

Passo 4

Determinar F_X(x) para x\le 0.
Como f_X(t)=0 para todo t\le 0, ao integrar até qualquer x\le 0 obtemos
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,dt=0.

Passo 5

Determinar F_X(x) para 0<x<1.
Agora a integral acumula a probabilidade desde -\infty até x, mas como f_X(t)=0 para t\le 0 e f_X(t)=2t para 0<t<1, a integral reduz-se a
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,dt = \int_{0}^{x} 2t\,dt.
Calculemos a integral:
\int_{0}^{x} 2t\,dt = \bigl[t^2\bigr]_{0}^{x}=x^2-0 = x^2.
Logo, para 0<x<1 vale F_X(x)=x^2.

Passo 6

Determinar F_X(x) para x\ge 1.
Para x\ge 1 a integral até x inclui todo o suporte (0,1), portanto
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,dt = \int_{0}^{1} 2t\,dt = 1.

Passo 7

Verificação das contiguidades nos pontos de fronteira e resumo.
  • Em x=0: o limite pela direita de F_X(x) é \lim_{x\downarrow 0} x^2 = 0, compatível com F_X(0)=0.
  • Em x=1: o limite pela esquerda é \lim_{x\uparrow 1} x^2 = 1, compatível com F_X(1)=1.
Portanto a f.d.a. está bem definida e é contínua nos pontos de fronteira (como esperado para densidade contínua).

Resposta

F_X(x)=\begin{cases} 0, & x\le 0,\\[4pt] x^{2}, & 0<x<1,\\[4pt] 1, & x\ge 1. \end{cases}]

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