Seja [X) a quantidade de tempo que um livro retirado em um sistema de “empréstimo de duas horas” leva para ser devolvido, e suponha que a f.d.a. seja
F(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ \frac{x^{2}}{4}, & 0 \leq x<2 \\\\ 1, & x \geq 2\end{cases}
Usando apenas F(x)\], responda os seguintes itens: Calcule \(\mathbb{P}(X>1,5).

Passo 1

O enunciado fornece a função de distribuição acumulada (f.d.a.) F(x) de uma variável aleatória X e pede para calcular \mathbb{P}(X>1,5). Informações relevantes dadas:
  • F(x)=0 para x<0.
  • F(x)=\dfrac{x^{2}}{4} para 0\le x<2.
  • F(x)=1 para x\ge 2.
    A pergunta específica: calcular \mathbb{P}(X>1,5) usando somente F(x).

Passo 2

Lembrete teórico útil (e simples): a função de distribuição acumulada F(x) é definida por
F(x)=\mathbb{P}(X\le x).
Daí, para qualquer número a vale exatamente (sem hipótese adicional)
\mathbb{P}(X>a)=1-\mathbb{P}(X\le a)=1-F(a).
Explicando em palavras: a probabilidade de X ser maior que a é o complemento de a probabilidade de X ser menor ou igual a a.

Passo 3

Aplicando o item anterior ao nosso valor a=1,5, temos
\mathbb{P}(X>1,5)=1-F(1,5).
Agora precisamos avaliar F(1,5). Observando as peças da f.d.a., o ponto x=1,5 pertence ao intervalo 0\le x<2. Portanto, para x=1,5 a fórmula aplicável é
F(x)=\frac{x^{2}}{4}.

Passo 4

Calcular F(1,5) passo a passo:
1,5^{2}=2,25,
portanto
F(1,5)=\frac{1,5^{2}}{4}=\frac{2,25}{4}=0,5625.

Passo 5

Agora calculo a probabilidade pedida usando a relação do Passo 2:
\mathbb{P}(X>1,5)=1-F(1,5)=1-0,5625=0,4375.

Passo 6

Opcional: representar 0,4375 como fração simples. Multiplicando por 16:
0,4375\times16=7,
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0,4375=\frac{7}{16}.

Resposta

\mathbb{P}(X>1,5)=0,4375=\dfrac{7}{16}

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