Usando apenas F(x)\], responda os seguintes itens:
Calcule \(\mathbb{P}(X>1,5).
Passo 1
O enunciado fornece a função de distribuição acumulada (f.d.a.) F(x) de uma variável aleatória X e pede para calcular \mathbb{P}(X>1,5). Informações relevantes dadas:
F(x)=0 para x<0.
F(x)=\dfrac{x^{2}}{4} para 0\le x<2.
F(x)=1 para x\ge 2.
A pergunta específica: calcular \mathbb{P}(X>1,5) usando somente F(x).
Passo 2
Lembrete teórico útil (e simples): a função de distribuição acumulada F(x) é definida por
F(x)=\mathbb{P}(X\le x).
Daí, para qualquer número a vale exatamente (sem hipótese adicional)
\mathbb{P}(X>a)=1-\mathbb{P}(X\le a)=1-F(a).
Explicando em palavras: a probabilidade de X ser maior que a é o complemento de a probabilidade de X ser menor ou igual a a.
Passo 3
Aplicando o item anterior ao nosso valor a=1,5, temos
\mathbb{P}(X>1,5)=1-F(1,5).
Agora precisamos avaliar F(1,5). Observando as peças da f.d.a., o ponto x=1,5 pertence ao intervalo 0\le x<2. Portanto, para x=1,5 a fórmula aplicável é
F(x)=\frac{x^{2}}{4}.
Passo 4
Calcular F(1,5) passo a passo:
1,5^{2}=2,25,
portanto
F(1,5)=\frac{1,5^{2}}{4}=\frac{2,25}{4}=0,5625.
Passo 5
Agora calculo a probabilidade pedida usando a relação do Passo 2:
\mathbb{P}(X>1,5)=1-F(1,5)=1-0,5625=0,4375.
Passo 6
Opcional: representar 0,4375 como fração simples. Multiplicando por 16: